Temel grup

Şablon:Çoklu sorun Temel grup, Henri Poincaré'nin 1895'te yayınladığı "Analysis Situs"^[1] adlı makalesinde tanımlanmıştır. Kavram, Bernhard Riemann, Poincaré ve Felix Klein'ın çalışmalarıyla Riemann yüzeyleri teorisinden ortaya çıkmıştır. Karmaşık değerli fonksiyonların monodromik özelliklerini açıkladığı gibi kapalı yüzeylerin tam bir topolojik sınıflandırılmasını sağlar.

Yollar ve Homotopiler

Bu bölümde topolojik uzayları ele alacağız. Yolların tanımında kullanacağımız $I$ aralığı $[0, 1]$ kapalı aralığı olacaktır. Son olarak, başlangıç noktası $p$ ve bitiş noktası $q$ olan yollara $p$ ’den $q$ ’ya giden yollar diyeceğiz.

Yol

Bir $X$ uzayı alalım. Bir $α : [0, 1] \to X$ sürekli fonksiyonuna $X$ uzayında bir yol denir. Böyle bir $α$ yolu için $α (0)$ noktası başlangıç noktası ve $α (1)$ noktası bitiş noktası olarak adlandırılır.

x, y \in X

olsun. Başlangıç ile bitiş noktaları sırasıyla

x

ve

y

olan ve

I = [0, 1]

'den

X

uzayına giden bütün yolların kümesi

𝐏 (x, y) = {f : [0, 1] \to X | f (0) = x, f (1) = y}

olarak tanımlanır.

Şekil 1: $f$ 'in grafiği üzerinde kırmızı ok ile belirtilen oryantasyonu.

Örnekler

İlk örnek olarak, $X = [0, 1]$ uzayında bir $f : [0, 1] \to X$ fonksiyonunu $f (x) = x^{2}$ olarak tanımlayalım. $X =$ $ℝ^{2}$ uzayındaki yollar genellikle $φ : [0, 1] \to$ $ℝ^{2}$ , $t \to (x (t), y (t))$ fonksiyonu ile temsil edilir. Burada $x (t)$ ve $y (t)$ sürekli fonksiyonlardır. Şimdi bir $φ : [0, 1] \to$ $ℝ^{2}$ yolunu $φ (t) = (t, t^{2})$ şeklinde tanımlayalım. Bu durumda

• $φ (0) = (0, 0)$ noktası, başlangıç noktası ve

• $φ (1) = (1, 1)$ bitiş noktasıdır.

Ayrıca $[0, 1]$ üzerindeki oryantasyonun, $φ$ fonksiyonunun görüntüsünün yönlendirmesini içerdiğinin de altını çizelim.

Diğer bir örnek olarak da bir $g : [- 1, 1] \to [- 1, 1]$ fonksiyonunu ele alalım ve $g (x) = x^{3}$ olsun.

$g$ fonksiyonunun grafiği $X$ uzayı olmak üzere bu uzaydaki yollara bakalım. Bir $β_{1} : I \to X$ fonksiyonunu $β_{1} (t) = (t, t^{3})$ olarak tanımlayalım.

β_{1} (0) = (0, 0), β_{1} (1) = (1, 1)

olduğunu görüyoruz.

β_{1}

’in bileşenleri olan

t

ve

t^{3}

,

I

üzerinde sürekli birer fonksiyon olduğundan

β_{1}

'in

y = x^{3}

fonksiyonu için bir yol olduğunu söyleyebiliriz.

Şekil 2: Mavi oklar $φ_{1}$ fonksiyonunu ve siyah oklar $β_{1}$ yolunu temsil etmektedir.

Şimdi $φ_{1} : [- 1, 1] \to$ $ℝ^{2}$ fonksiyonunu ele alalım, öyle ki $φ_{1} (t) = (t, t^{3})$ olsun.

$φ_{1}$ , bir yol değildir çünkü tanım kümesi $I = [0, 1]$ değildir. $φ_{1}$ fonksiyonunu kullanarak $x^{3}$ grafiğinin üzerinde başka bir yol bulacağız.

Bunun için, sürekli ve daima artan bir fonksiyon tanımlayalım. $f : I \to [- 1, 1]$ fonksiyonu $f (t) = 2 t - 1$ olarak tanımlansın.

Sonra bileşke fonksiyonu yazalım. $φ_{1} \circ f (t) : I \to$ $ℝ^{2}$ öyle ki $φ_{1} \circ f (t) = (2 t - 1, (2 t - 1)^{3})$ olsun.

$φ_{1} \circ f (0) =$ $(- 1, - 1)$ ve $φ_{1} \circ f (1) = (1, 1)$ olmaktadır.

Bu bileşke fonksiyonunun bileşenleri $2 t - 1$ ve $(2 t - 1)^{3}$ , $I$ tanım aralığında sürekli fonksiyon olduklarından bu bileşke fonksiyonun sürekli olduğu sonucuna ulaşılır.

Sonuç olarak $φ_{1} \circ f$ , $X$ uzayında bir yol olur.

Ters Yol

$p$ ’den $q$ ’ya giden bir $φ : I \to X$ yolu için, $\bar{φ}$ ters yolu $\bar{φ} (t) =$ $φ (1 - t)$ olarak tanımlanır. Bu durumda $\bar{φ}$ yolunun başlangıç noktası $q$ ve bitiş noktası $p$ olur.

Örnek olarak, $φ : I \to [- 1, 1]$ yolunu $φ (t) = 2 t - 1$ olarak tanımlayalım. Bu durumda $φ (0) = - 1$ ve $φ (1) = 0$ olur.

$φ$ üzerindeki oryantasyonu ters çevirirsek, $\bar{φ} : I \to [- 1, 1]$ olarak tanımlı $\bar{φ} (t) =$ $φ (1 - t)$ olan ters yolunu elde ederiz (Şekil 3).

\bar{φ} (0) =

φ (1) = 1

ve

\bar{φ} (1) = - 1

,

φ (0) = - 1

,

φ (1) = 1

olduğunu not edelim.

Şekil 4: Birim çember ve üzerindeki $φ$ yolu (kırmızı oklarla gösterilmiştir.)

Birim çember üzerinde yol örneğini inceleyelim;

$S^{1}$ birim çember olmak üzere, $φ : I \to S^{1} \subset ℂ$ fonksiyonunu $φ (t) =$ $e^{2 i π} = \cos 2 π t + i \sin 2 π t$ ^[2] olarak tanımlayalım.

Bu fonksiyon aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır:

• $φ$ süreklidir, çünkü üstel fonksiyonun sürekli olduğunu biliyoruz.^[3]

• $φ (0) = 1$ , $φ (\frac{1}{4}) = i$ , $φ (\frac{1}{2}) = - 1$ , $φ (\frac{3}{4}) = - i$ , $φ (1) = 1$ .

Bu nedenle, $φ$ birim çember üzerindeki pozitif yönlü bir yoldur (Şekil 4).

Birim küre üzerinde yol örneğinde ise, $R^{3}$ üzerindeki birim küreyi ele alalım: $S^{2} = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}$ .

$φ : [0, 1] \to S^{2} \subset ℝ^{3}$ fonksiyonunu $φ (t) =$ $(\cos π t, \sin π t, 0)$ şeklinde tanımlayalım. Bu şekilde tanımlı $φ$ fonksiyonu bariz bir şekilde süreklidir çünkü kosinüs ve sinüs fonksiyonları süreklidir.

Sonuç olarak,

φ (0) = (1, 0, 0), φ (\frac{1}{2}) = (0, 1, 0)

ve

φ (1) = (- 1, 0, 0)

olur. Bu yüzden,

φ

fonksiyonu

S^{2}

üzerinde bir yoldur ve oryantasyonu Şekil 5’teki gibidir.

Şekil 5
Şekil 6

Diğer yandan, $β : I \to S^{2} \subset ℝ^{3}$ , $β (t) =$ $(0, \sin π 2 t, \cos π 2 t)$ biçiminde tanımlı olan fonksiyon süreklidir ve $β (0) = (0, 0, 1), β (1) = (0, 1, 0)$ olduğundan $β$ fonksiyonu $S^{2}$ üzerinde başka bir yola örnektir (Şekil 6).

Homeomorfizma

Herhangi $X$ ve $Y$ topolojik uzayları arasında bir homeomorfizma, $f : X \to Y$ birebir ve örten bir fonksiyon şeklinde tanımlanır; $f$ ve $f^{- 1} : Y \to X$ sürekli fonksiyonlardır.

Tanım

$I$ ’dan $I$ ’ya giden daima artan homeomorfizmaların kümesi şu şekilde tanımlanır: ${Homeo}^{+} (I, I) = {f : I \to I ∣ f daima artan ve homeomorfizma}$ .

Önermeler

${Homeo}^{+} (I, I)$ kümesi fonksiyon bileşkesi $\circ$ altında bir gruptur.

Kanıtı için, önce ${Homeo}^{+} (I, I)$ kümesinin $\circ$ işlemi altında kapalı olduğunu göstermek yeterlidir. Herhangi $f, g \in {Homeo}^{+} (I, I)$ seçelim. $f \circ g : I \to I \in {Homeo}^{+} (I, I)$ olduğunu göstereceğiz.

$f$ , daima artan ve sürekli bir fonksiyon olup tersi de süreklidir. Aynı şekilde $g$ için de aynı özellikler sağlanır. İki artan fonksiyonun bileşkesi de artan olacağından $f \circ g$ fonksiyonu da artan olur.^[4]

İki sürekli fonksiyonun bileşkesi de sürekli bir fonksiyon olduğundan $f \circ g$ fonksiyonu da sürekli olur.

Öte yandan, $f^{- 1}$ ve $g^{- 1}$ fonksiyonlarının sürekli olduğunu biliyoruz. O halde $(f \circ g)^{- 1} =$ $g^{- 1} \circ f^{- 1}$ fonksiyonu da sürekli olur. Sonuç olarak $f \circ g : I \to I \in {Homeo}^{+} (I, I)$ elde ederiz.

Şimdi ( ${Homeo}^{+} (I, I), \circ$ ) kümesinin grup aksiyomlarını (bileşim, birim eleman, terslenebilme) sağladığını gösterelim.^[5]

•Bileşim özelliği: Herhangi $f, g, h \in {Homeo}^{+} (I, I)$ seçelim. Rastgele bir $x \in I$ elemanı alalım. O halde,

• $h \circ (g \circ f) (x) = h (g \circ f (x)) = h (g (f (x)))$ ve • $(h \circ g) \circ f (x) = (h \circ g) (f (x)) = h (g (f (x)))$ olduğundan her $x \in I$ için $h \circ (g \circ f) (x) = (h \circ g) \circ f (x)$ olur.

•Birim eleman: $Id : I \to I$ fonksiyonu, $Id (x) = x$ olduğunda ( ${Homeo}^{+} (I, I), \circ$ )’nun birim elemanıdır çünkü $Id$ (birim fonksiyon) süreklidir, birebir ve örtendir, daima artandır.

Öte yandan ${Id}^{- 1} : I \to I$ ters fonksiyonu da süreklidir çünkü her $x \in I$ için ${Id}^{- 1} (x) = Id (x) \Leftrightarrow {Id}^{- 1} = Id$ .

Sonuç olarak her $x \in I$ için $(f \circ Id) (x) = f (Id (x)) = f (x), (Id \circ f) (x) = Id (f (x)) = f (x)$ olmaktadır.

•Terslenebilme: Herhangi bir $f \in {Homeo}^{+} (I, I)$ alalım. ${Homeo}^{+} (I, I)$ ’ın tanımından dolayı, $f$ ’in daima artan, birebir, örten ve sürekli olduğunu ve $f^{- 1}$ ’in de sürekli olduğunu biliyoruz.

$f^{- 1} \in {Homeo}^{+} (I, I)$ olduğunu göstermek gereklidir. Bunun için, $f^{- 1}$ ’in daima artan olduğunu göstermek yeterlidir.

Herhangi $x, y \in I$ alalım ve $x < y$ olduğunu varsayalım. $f^{- 1} (x) < f^{- 1} (y)$ olduğunu gösterelim.

$f$ daima artandır ve $x < y$ olduğu için $f (x) < f (y)$ olur. $f$ ’in birebir ve örtenlik özelliğinden dolayı $f (a) = x$ ve $f (b) = y$ olan biricik $a, b \in I$ elemanları vardır.

$f$ daima artan ve $x < y$ olduğu için, $f (a) < f (b)$ olur. Bu yüzden $a < b$ ve $f^{- 1} (x) < f^{- 1} (y)$ olur. Sonuç olarak, $\circ$ işlemi altında ${Homeo}^{+} (I, I)$ bir gruptur.

Eğer $h \in {Homeo}^{+} (I, I)$ ise $h (0) = 0$ ve $h (1) = 1$ olur.

Kanıtını şöyle açıklayabiliriz; herhangi $h \in {Homeo}^{+} (I, I)$ alalım; yani $h : I \to I$ sürekli, daima artan ve birebir-örten bir homeomorfizmadır. O halde $f^{- 1}$ ’ fonksiyonu da süreklidir.

$h (0) \neq {0, 1}$ olsun ki bu $h (0) = x \in (0, 1)$ anlamına gelir. $(0, 1]$ aralığının bağlantılı (connected) olduğunu biliyoruz.^[6] O zaman $h$ sürekli olduğundan $h ((0, 1])$ ’in de bağlantılı olduğunu söyleyebiliriz.

$h$ birebir ve örten olduğundan, $h ((0, 1]) = [0, x) \cup [x, 1]$ olur. Fakat $[0, x) \cup [x, 1]$ bağlantılı değildir. Bu yüzden $h (0) \neq 0, 1$ varsayımıyla bir çelişki elde ederiz. Yani $h (0) = {0, 1}$ olur.

Şimdi $h (0) = 0$ olduğunu gösterelim. $h (0) = 1$ olduğunu varsayalım. $h$ fonksiyonu daima artan ve $0 < 1$ olduğundan, $h (0) < h (1)$ olur; bu da $1 < h (1)$ demektir.

$h : [0, 1] \to [0, 1]$ olduğundan $h (1)$ değeri $1$ ’den büyük olamaz. O halde $h (0) = 0$ olur. Aynı muhakeme ile $h (1) = 1$ sonucu elde edilir.

Sonuç olarak, her $h \in {Homeo}^{+} (I, I)$ için, $h (0) = 0$ ve $h (1) = 1$ olur.

Yollar üzerinde denklik bağıntısı

$X$ uzayında $f, g : I \to X$ yollarını düşünelim. Eğer $f = g \circ h$ eşitliğini sağlayan bir $h \in {Homeo}^{+} (I, I)$ varsa, o halde $f \approx g$ denilir.

$\approx$ bir denklik bağıntısıdır, önermesinin ispatını şöyle açıklayabiliriz; $\approx$ bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığını göstereceğiz.

•yansıma: $f : I \to X$ herhangi bir yol olsun. Eğer $h$ fonksiyonunu $Id : I \to I$ şeklinde tanımlı birim fonksiyon alırsak $f = f \circ h$ olur. Dolayısıyla $f \approx f$ olur.

•simetri: $f, g : I \to X$ herhangi iki yol olsunlar. $f \approx g$ olduğunu varsayalım ve $g \approx f$ olduğunu gösterelim.

$f \approx g$ ise $f = g \circ h$ olacak şekilde bir $h \in {Homeo}^{+} (I, I)$ vardır. $h$ fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu biliyoruz; bu yüzden şöyle yazabiliriz:

$f = g \circ h \Leftrightarrow f \circ h^{- 1} = g$ . Yani öyle bir fonksiyon bulmuş olduk ki $k = h^{- 1} \in {Homeo}^{+} (I, I)$ ve $g = f \circ k$ oldu. Sonuç olarak $g \approx f$ olur.

•geçişme: $f, g, h : I \to X$ herhangi üç yol olsunlar. $f \approx g$ ve $g \approx h$ olduklarını varsayalım ve $f \approx h$ olduğunu gösterelim.

Varsayımlara göre, $f = g \circ φ_{f}$ ve $g = h \circ φ_{g}$ eşitliklerini sağlayan $φ_{f}, φ_{g} \in {Homeo}^{+} (I, I)$ elemanları vardır. Bu nedenle, $f = g \circ φ_{f} \Leftrightarrow f = h \circ φ_{g} \circ φ_{f}$ ’dir.

$φ_{f}, φ_{g} \in {Homeo}^{+} (I, I)$ olduğundan $φ_{f} \circ φ_{g} \in {Homeo}^{+} (I, I)$ olur. Yani $k = φ_{f} \circ φ_{g} \in {Homeo}^{+} (I, I)$ elemanı $f = h \circ k$ eşitliğini sağlar. Dolayısıyla, $f \approx h$ olur.

Sonuç olarak $\approx$ bir denklik bağıntısıdır.

Homotopi

$φ_{1}$ ve $φ_{2}$ fonksiyonları $X$ uzayında iki yol olsun. Bu yolların bir homotopisi, $F : I \times I \to X$ , $(a, t) \mapsto F (a, t)$ şeklinde tanımlı ve aşağıdaki şartları sağlayan sürekli bir fonksiyondur.

(i) Her $a$ sayısı için, $F (a, t) : I \to X$ , $p$ ’den $q$ ’ya giden bir yol belirtir.

(ii) $p$ ’den $q$ ’ya giden $φ_{1}$ , $φ_{2}$ yolları için $F (0, t) =$ $φ_{1}$ ve $F (1, t) =$ $φ_{2}$ ’dir. $φ_{1}$ ve $φ_{2}$ yolları bu şekilde bir $F$ homotopisi ile bağlanırlarsa $φ_{1}$ ve $φ_{2}$ homotopiktirler denilir ve $φ_{1} ≃ φ_{2}$ şeklinde gösterilir.

Önermeler

Yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.

Önermenin kanıtını şöyle açıklayabiliriz: $φ_{0}$ , $φ_{1}$ , $φ_{0}^{'}$ ve $φ_{1}^{'}$ : $[0, 1] \to X$ şeklinde tanımlı yollar olsun. . Eğer $φ_{0} ≃ φ_{0}^{'}$ ve $φ_{1} ≃ φ_{1}^{'}$ olduğunda $φ_{0} \circ φ_{1} ≃ φ_{0}^{'} \circ φ_{1}^{'}$ denkliği sağlanıyorsa bu bileşke işlemi iyi tanımlıdır. $φ_{0} ve φ_{0}^{'}$ arasında $F$ homotopisi ve $φ_{1} ve φ_{1}^{'}$ arasında ise $G$ homotopisi tanımlı olsun. $F \circ G$ homotopisini aşağıdaki şekilde tanımladığımız zaman yolların bileşkesinin iyi tanımlı olduğunu göstermiş oluruz.

$F \circ G (s, t) = {\begin{matrix} F (2 s, t), & 0 \leq s \leq \frac{1}{2} \\ G (2 s - 1, t), & \frac{1}{2} \leq s \leq 1 \end{matrix}$ olduğunda $(F \circ G) (s, 0) = F (2 s, 0) = φ_{0}, (F ⋆ G) (s, 1) = G (2 s - 1, 1) = φ_{1}^{'}$ eşitliklerini elde ederiz. Bu yüzden $φ_{0} \circ φ_{1} ≃ φ_{0}^{'} \circ φ_{1}^{'}$ denkliği sağlanır. Bu yüzden yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.

Bir uzayda sabit başlangıç ve bitiş noktaları olan yollar üzerindeki homotopi ilişkisi bir denklik bağıntısıdır. Uzaydaki bir $φ$ yolunun homotopi sınıfı $[φ]$ ile gösterilir.

İspatını yaparken, Homotopi ilişkisinin yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığı göstermeli.^[7]

•yansıma: $φ_{1} : I \to X$ , $p$ ’den $q$ ’ya giden bir yol olsun. $F : I \times I \to X$ , $F (a, t) = f (t)$ şeklinde tanımlanmış $F$ fonksiyonu $φ_{1}$ ile $φ_{1}$ arasında bir homotopidir; çünkü her $a$ için,

$F (a, t) : I \to X$ fonksiyonu $p$ ’den $q$ ’ya giden bir yoldur ve $F (0, t) = φ_{1} (t), F (1, t) = φ_{1} (t)$ ’dir. Sonuç olarak $φ_{1} ≃ φ_{1}$ elde edilir.

•simetri: $φ_{1}, φ_{2} : I \to X$ , $p$ ’den $q$ ’ya giden 2 yol olsun. $φ_{1} ≃ φ_{2}$ olduğunu kabul edelim. O halde öyle bir $F : I \times I \to X$ şeklinde tanımlı homotopi vardır ki; her sabit $a$ için,

$F (a, t) : I \to X$ fonksiyonu $p$ ’den $q$ ’ya giden bir yol olur ve $F (0, t) =$ $φ_{1} (t)$ , $F (1, t) =$ $φ_{2} (t)$ ’dir.

Şimdi $F^{'} : I \times I \to X$ fonksiyonunu $F^{'} (a, t) =$ $F (1 - a, t)$ şeklinde tanımlayalım. O zaman her sabit $a$ için, $F^{'} (a, t) =$ $F (1 - a, t)$ fonksiyonu $p$ ’den $q$ ’ya giden bir yoldur ve

$F^{'} (0, t) =$ $F (1, t) =$ $φ_{2} (t)$ ve $F^{'} (1, t) =$ $F (0, t) =$ $φ_{1} (t)$ olur. Sonuç olarak $g ≃ f$ elde edilir.

•geçişme: $φ_{1}, φ_{2}, φ_{3} : I \to X$ şeklinde tanımlı 3 yol olsun. $φ_{1} ≃ φ_{2}$ ve $φ_{2} ≃ φ_{3}$ olduğunu kabul edelim. Göstermemiz gereken; $φ_{1} ≃ φ_{3}$ dir.

$φ_{1} ≃ φ_{2}$ ve $φ_{2} ≃ φ_{3}$ olduğundan öyle $F$ ve $G$ homotopileri vardır ki; $F : I \times I \to X$ , $F (0, t) =$ $φ_{1} (t)$ ve $F (1, t) =$ $φ_{2} (t)$ , $G : I \times I \to X$ , $G (0, t) =$ $φ_{2} (t)$ ve

$G (1, t) =$ $φ_{3} (t)$ ’dir. Şimdi bir $H : I \times I \to X$ fonksiyonunu

\begin{matrix} H (a, t) & = {\begin{matrix} F (2 a, t) & 0 \leq a \leq \frac{1}{2} \\ G (2 a - 1, t) & \frac{1}{2} \leq a \leq 1 \end{matrix} \end{matrix}

şeklinde tanımlayalım. Açıkça görüyoruz ki;

H (a, t)

fonksiyonu

a = 1 / 2

noktası dışında her yerde süreklidir.

Öte yandan $a = 1 / 2$ için $\lim_{a \to 1 / 2^{+}} H (a, t) = G (0, t) =$ $φ_{2} (t)$ ve $\lim_{a \to 1 / 2^{-}} H (a, t) = F (1, t) =$ $φ_{2} (t)$ olmaktadır.

Dolayısıyla $H (a, t)$ fonksiyonu $a = 1 / 2$ noktasında da süreklidir. Ayrıca, $H (0, t) = F (0, t) =$ $φ_{1} (t)$ ve $H (1, t) = G (1, t) =$ $φ_{3} (t)$ olduğunu görüyoruz.

Sonuç olarak $φ_{1} ≃ φ_{3}$

$φ_{1} ≃ φ_{3}$ elde edilir.

$π_{1} (X, x_{0})$ gruptur.

Kanıtını göstermek için, örnek olarak $x_{0} \in X$ ve $π_{1} (X, x_{0})$ , $x_{0}$ 'a dayalı döngülerinin homotopi sınıflarının kümesi olsun.

•Birim elemanı $e_{x_{0}} : [0, 1] ⟶ X$ , $e_{x_{0}} (t) = x_{0}$ olan $[e_{x_{0}}]$ döngüsünün sınıfıdır. Herhangi bir $f$ döngüsü için $[e_{x_{0}}] ⋆ [f] = [f]$ eşitliği sağlanır ve homotopi şu şekilde tanımlanır: $F (s, t) = {\begin{matrix} e_{x_{0}}, & 0 \leq t \leq \frac{1 - s}{2} \\ f (\frac{(2 t + s - 1)}{(s + 1)}), & \frac{1 - s}{2} \leq t \leq 1 \end{matrix}$ .

• $f$ , $π_{1} (X, x_{0})$ 'te bulunan herhangi bir döngü olsun. $f$ 'in tersini $\overline{f (s)} = f (1 - s)$ olarak tanımlayalım. $f$ 'in tersini yönünü değiştirerek tanımladık. Şimdi ise $e ve f ⋆ \overline{f}$ arasındaki homotopi şu şekilde tanımlanır: $F (s, t) = {\begin{matrix} f (2 t s), & 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\ f (2 s (1 - t), & \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{matrix}$ .

• $f, g, h \in π_{1} (X, x_{0})$ herhangi üç eleman olsun. Şimdi ise $[f] ⋆ ([g] ⋆ [h]) = ([f] ⋆ [g]) ⋆ [h]$ olduğunu gösterelim. Bu koşulu sağlayan homotopi şu şekilde tanımlanır: $F (t, s) = {\begin{matrix} f (\frac{4 t}{1 + s}), & 0 \leq t \leq \frac{s + 1}{4} \\ g (4 t - 1 - s), & \frac{s + 1}{4} \leq t \leq \frac{s + 2}{4} \\ h (1 - 4 \frac{1 - t}{2 - s}), & \frac{s + 2}{4} \leq t \leq 1 \end{matrix}$ .

Birim elemanın varlığı, ters elemanın varlığı ve geçişme özelliğini sağladığından ötürü $π_{1} (X, x_{0})$ bir gruptur.