Grup (matematik)

Grup (tutam veya öbek), soyut cebirin en temel matematiksel yapısıdır. Grup, ayrıca bir ikili işlemin tanımlı olduğu bir kümedir. Bir grubun grup olabilmesi için aynı zamanda bu işlemin birleşmeli, birim elemanlı ve ters elemanlı olması gerekir. Soyut cebirin halka, cisim, modül gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.

Gruplar, ilk başta geometrik şekillerin simetrilerini araştırırken keşfedilmiştir. Dolayısıyla bir kübün simetrileri, bir sonlu grup örneği olarak verilebilir. Ama aynı şekilde, tam sayıların kümesi $\mathbb{Z}$ de toplama işlemiyle birlikte bir grup teşkil eder.

Tanımlar ve Özellikler

Tanım

Eğer üzerinde bir tane $*$ ikili işlemi tanımlanmış bir $G$ kümesi

• Bileşme: Her $a,b,c\in G$ için $a*(b*c)=(a*b)*c:=a*b*c$

aksiyomunu sağlıyorsa bir yarı gruptur. Eğer bir yarı grup,

• Etkisiz eleman: Öyle bir $e\in G$ mevcuttur ki her $a\in G$ için $a*e=e*a=a$

özelliğini sağlıyorsa bu kümeye monoid denir. Eğer bir monoid,

• Ters eleman: Her $a\in G$ için öyle bir $a^{-1}\in G$ elemanı vardır ki $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$

özelliğini de sağlıyorsa kümeye grup adı verilir. İşlemi vurgulamak için $(G,*)$ gösterimi kullanılır.

Ayrıca bir grup

• Değişme: Her $a,b\in G$ için $a*b=b*a$

özelliğini de sağlıyorsa değişmeli grup ya da Abel'in anısına Abelyen grup olarak adlandırılır.

Özellikler

Yukarıdaki aksiyomlar sağlandığında bazı özellikler otomatikman geçerli olur:

• Etkisiz Elemanın Biricikliği Bir grupta birden fazla etkisiz eleman $e$ bulunmaz.
• Ters Elemanların Biricikliği Her $a$ elemanının yegâne bir ters elemanı $a^{-1}$ bulunur. Dolayısıyla elemanların tersini almak bir fonksiyondur ve bu fonksiyon şu özellikleri gösterir:
  • $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$
  • $e^{-1}=e$
• Sadeleşme Özelliği $ab=ac$ ise $b=c$
• Bölme Özelliği Her $a,b\in G$ elemanları için $b=ac$ özelliğini sağlayan bir ve yegâne bir $c$ mevcuttur.
• Üs n tane $a*a*...*a$'nın çarpımı kısaca $a^n$ olarak gösterilir. Bu gösterim, aşağıdaki özellikleri sağlar
  • $(a^n{)}^{-1}=(a^{-1}{)}^n:=a^{-n}$
  • $(a^m{)}^n=(a^n{)}^m:=a^{mn}$
  • $a^n*a^m=a^{n+m}$
  • Sadece abelyen gruplar için $a^n{b}^n=(ab{)}^n$

Temel Kavramlar

Homomorfizma

İki grubun yapısındaki benzerliklere homomorfizma ismi verilir. Resmen tanımlamak gerekirse, $G$ ve $H$ iki grup olsun, $\varphi :G\mapsto H$ ise bu iki grup arasında tanımlı bir eşleme olsun. Eğer her $a,b\in G$ için $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$ özelliği sağlanıyorsa $\varphi$'ye bir homomorfizma denir. Homomorfizmalar bize hem $G$ hem de $H$'nin yapısı hakkında bilgi verdiği için çok kullanışlıdır.

Bir homomorfizma için, $\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{j}(\varphi )$ ile $\varphi$'nin görüntüsü, yani $H$'de $\varphi$ ile ulaşılabilen tüm elemanların kümesi kastedilir. $\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{j}(\varphi )$ daima $H$'nin bir altgrubudur. $\ker (\varphi )$ ile de $\varphi$'nin çekirdeği, yani $\varphi (g)=e$ özelliğini sağlayan tüm elemanların kümesi kastedilir. $\ker (\varphi )$ daima $G$'nin bir altgrubudur, hatta normal bir altgruptur.

Bir homomorfizma, aynı zamanda birebir ve örten ise bu homomorfizmaya izomorfizma adı verilir. Aralarında bir izomorfizma bulunan iki gruba izomorfik denir ve bu durum $G\cong H$ şeklinde gösterilir. İki grubun izomorfik olması demek, iki grubun tanım kümeleri farklı da olsa yapılarının tamamen aynı olması demektir. Grup teoresinde, iki grubun birbiriyle "aynı" olduğu söylendiğinde çoğu zaman aslında izomorfik olduğu kastedilir.

İzomorfizma örneği vermek gerekirse, $\varphi :x\mapsto 2x$ fonksiyonu, tam sayılar ve çift tam sayılar arasında bir izomorfizma teşkil eder. Dolayısıyla iki grubun tanım kümesi farklı olsa da belki şaşırtıcı bir şekilde yapılarının aynı olduğu ortaya çıkar.

Eğer $\varphi :G\mapsto G$, $G$'nin elemanlarını yine $G$'ye götüren bir homomorfizma ise $\varphi$'ye bir endomorfizma denir. Eğer $\varphi$ hem bir endomorfizma, hem de bir izomorfizma ise $\varphi$'ye bir otomorfizma denir. $G$'nin tüm otomorfizmalarını alıp bir kümeye koyarsak, bu otomorfizmalar kendi aralarında bir grup teşkil eder, bu grup $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$ ile gösterilir.

Altgrup

Daha büyük bir grubun içinde bulunan gruplara altgrup ismi verilir. Resmen tanımlamak gerekirse, $U$, $G$'nin bir altkümesi olsun. Eğer $U$, $G$'nin işlemi ile kendi içinde de bir grupsa bu durumda $U$'ya $G$'nin altgrubu denir ve bu durum $U\le G$ şeklinde gösterilir. Bir grubun altgrup olup olmadığını kontrol etmek için üç şeye bakmak gerekir:

1. Her $a,b\in U$ için $ab$ de $U$'nun içinde
2. Her $a$ elemanının tersi $a^{-1}$'de $U$'nun içinde
3. $U$ boşküme değil

Bu iki şart sağlanınca diğer grup aksiyomları otomatikman kanıtlanır. Ayrıca, $G$'nin eleman sayısı sonlu ise ikinci şart da otomatikman sağlanır.

Örnek vermek gerekirse, tüm çift sayıların kümesi, tüm tam sayıların kümesinin bir altgrubudur. Benzer şekilde, bir karenin tüm rotasyon simetrileri, karenin tüm simetrilerinin grubunun bir altgrubudur.

Şimdi $M$, $G$'nin herhangi bir alt kümesi olsun. $M$'i içeren ve $G$'nin tüm altgrupların kesişimine $M$ tarafından üretilen altgrup denir ve $⟨M⟩$ ile gösterilir. Eşdeğer bir tanım ise, $M$ ve $M$'deki elemanların toplamları veya tersleri olarak yazılabilen tüm elemanların oluşturduğu altgruba $⟨M⟩$ denmesidir.

Eşkümeler

Şimdi $G$ bir grup, $U\le G$ da bir altgrup olsun. Bir $g\in G$ seçip $U$'nun elemanlarıyla tek tek çarpıp bunları bir kümeye yerleştirirsek bu kümeye bir eşküme denir ve bu $gU$ şeklinde gösterilir. Eşkümeleri tanımlamanın başka bir yolu ise; $A$ bir eşküme ise her $a,b\in A$ için$a{b}^{-1}\in U$ olmasını gerektirmektir.

Meselâ $G$'yi bir karenin simetrileri olarak alırsak ve karenin rotasyon simetrilerinden oluşan altgrubunu ise $U$ ile gösterirsek, $G$ iki eşkümeye bölünür: $U$'nun kendisi ve bir yansıtmadan sonra ulaşılabilen simetrilerin kümesi. Veya $\mathbb{Z}$'yi alıp 3'ün katlarını içeren altgruba bölersek 3 eşküme elde ederiz: $\{...,-6,-3,0,3,6,...\}$, $\{...,-5,-2,1,4,7,...\}$, $\{...,-4,-1,2,5,7,...\}$

Grup çarpımı birebir olduğundan bir altgrubun tüm eşkümeleri eşit sayıda eleman içerir. Aynı zamanda, hiçbir eleman iki farklı eşkümenin aynı anda elemanı olamaz ve tüm eşkümelerin birleşimi de grubun tamamını verir. Bütün bunlar, Lagrange Teoremini kanıtlar: $U\le G$ ise ve $G$ sonluysa $U$'nun eleman sayısı, $G$'nin eleman sayısının daima bir bölenidir.

Abelyen olmayan gruplarda, hem soldan çarparak $gU$ şeklinde, hem de sağdan çarparak $Ug$ şeklinde eşkümeler elde etmek mümkündür. Bu eşkümelerin birbirinin aynısı olması da zorunlu değildir, ancak aynı olduğu durumlarda $U$'ya bir normal altgrup denir ve bu durum $U⊴G$ şeklinde gösterilir. Abelyen grupların tüm altgrupları normaldir.

Bölüm Grupları

Eğer $U$, $G$'nin normal bir altgrubuysa, $U$'nun eşkümeleri arasında bir işlem tanımlamak mümkündür. Çünkü sadece $U$ normalse, $U$'nun iki eşkümesi $A$ ve $B$'den iki eleman alıp çarpınca yine tek bir eşkümeye ait elemanlar elde ederiz. $U$ normal bir altgrup değilse seçtiğimiz elemana göre farklı eşkümeler elde etmek mümkündür.

$U$'nun eşkümeleri arasında bu şekilde bir işlem tanımlayıp elde ettiğimiz gruba $U$'nun bölüm grubu denir ve bu $G/U$ ile gösterilir. Bu şekilde $G$'yi daha basit olan iki parçaya ayırmış oluruz: $U$ ve $G/U$.

Örnek vermek gerekirse, $G$'yi karenin simetri grubu olarak aldığımızda, sadece rotasyon simetrilerini içeren altgrup $U$ normaldir. Bu durumda $G/U$ iki elemandan oluşan bir altgrup verir ve 8 elemanlı $G$'yi 4 ve 2 elemanlı iki grup olarak parçalamış oluruz. Aynı şekilde tüm tam sayıları alıp 5'in katlarına bölersek 5 elemanlı bir grup elde etmiş oluruz. Bu bölüm grubu, $\{0,1,2,3,4\}$ sayılarının modülo 5 toplandığı gruba izomorftur.

Kaynakça

• Thomas W. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, Chapter I, 1974.
• Nathan Jacobson, Lectures in Abstract Algebra: I. Besic Concepts, Springer-Verlag, Chapter I, 1951.
• Serge Lang, Algebra, Addison-Wesley, 3. baskı, 1993.
• Yarasa Genel Müdürlüğü, Cebir, Hacettepe Üniversitesi FF, 2 cilt, 1987.

Ayrıca bakınız

• Cisim
• Halka