Euler-Mascheroni sabiti

Şablon:Diğer anlamı2 Matematiksel analizin sayı teorisinde Euler–Mascheroni sabiti matematiksel sabit'tir. Yunan harfi Şablon:Dil (gama) ile gösterilir.

Harmonik seri ile doğal logaritma arasındaki fark veya limit'tir.

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (n))=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x})dx.$

sayısal değerin 50 basamağı:

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …|

$\gamma$ ile e sayısı karıştırılmamalıdır e Euler sayısı, doğal logaritma'nın tabanı olarak bilinir.

Tarihçe

Sabit 1735'te İsviçreli matematikçi Leonhard Euler, De Progressionibus harmonicis observationes başlığı (Eneström Index 43) açıklanmıştır. Euler'in sabit için kullandığı notasyon C ve O dur. 1790'te, İtalyan matematikçi Lorenzo Mascheroni'nin sabit için kullandığı notasyon A ve a 'dır. γ gösterimine Euler veya Mascheroni sabiti dendi, daha sonra gama fonksiyonu ile ilişkisi anlaşıldı. Mesela Carl Anton Bretschneider tarafından γ notasyonu 1835'te kullanıldı.

Tezahürleri

Euler-Mascheroni sabiti, diğer denklemler içerisinde görünür :

• üstel integral ifadelerinde.
• doğal logaritma'nın Laplace dönüşümü'nde.
• Riemann zeta fonksiyonu'nun Taylor serisine açılımında ilk terim, burada Stieljes sabiti ilk terimdir.
• Digama fonksiyonu hesaplamaları
• Gama fonksiyonu'ndan üretilen bir formül
• Euler totient fonksiyonu için bir eşitsizlik
• Bölen fonksiyonu'nun büyük kesri
• Meissel-Mertens sabiti için bir hesaplama
• Mertens'in üçüncü teoremi
• ikinci tür Bessel denklemi'nin çözümü.
• Kuantum alan teorisi'nde Feynman diagram'larının Boyutsal düzenlenmesinde .
• Gumbel dağılımının anlamı ile.

Bu tür için daha fazla bilgi, bkz: Gourdon ve Sebah (2004). Şablon:Webarşiv rmulas.html Gourdon and Sebah (2004).]

Kimliği

γ sayısının cebirsel sayı veya aşkın sayı olup olmadığı bilinmiyor. Hatta γ'nın irrasyonel sayı olup olmadığı da bilinmiyor sürekli kesir'le rasyonel, γ paydası 10²⁴²⁰⁸⁰ 'dan büyük olmalıdır.Şablon:Kaynak belirt Birçok denklemde ortaya çıkan γ'nın (pi/2e~0.5778) irrasyonalitesi? büyük bir açık sorudur. Sondow'a bakınız (2003a).

Daha fazla bilgi için bakınız: Gourdon and Sebah (2002). Şablon:Webarşiv

Gama fonksiyonu ile ilişkisi

γ digama fonksiyonu Ψ ile ilişkilidir, Ψ,gama fonksiyonu yani Γ 'unun türevidir.:

$-\gamma ={\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1)=\mathrm{\Psi }(1).$

Bunun limiti:

$-\gamma =\underset{z\to 0}{\lim }\{\mathrm{\Gamma }(z)-\frac{1}{z}\}=\underset{z\to 0}{\lim }\{\mathrm{\Psi }(z)+\frac{1}{z}\}.$

Daha öte limit sonuçları (Krämer, 2005):

$\underset{z\to 0}{\lim }\frac{1}{z}\{\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1+z)}-\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-z)}\}=2\gamma$

$\underset{z\to 0}{\lim }\frac{1}{z}\{\frac{1}{\mathrm{\Psi }(1-z)}-\frac{1}{\mathrm{\Psi }(1+z)}\}=\frac{{\pi }^2}{3{\gamma }^2}.$

beta fonksiyonu ile ilişkisi (dolayısıyla gama fonksiyonu)

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{n})\mathrm{\Gamma }(n+1)n^{1+1/n}}{\mathrm{\Gamma }(2+n+\frac{1}{n})}-\frac{n^2}{n+1}\}.$

$\gamma =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to \mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{(-1{)}^k}{k}\ln (\mathrm{\Gamma }(k+1)).$

Zeta fonksiyonu ile ilişkisi

Pozitif tam sayı içeren Riemann zeta fonksiyonu'nun sonsuz toplamı γ sabitine yakınsar:

$\begin{array}{cc}\gamma & =\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{\zeta (m)}{m}\\ & =\ln \left(\frac{4}{\pi }\right)+\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{\zeta (m)}{2^{m-1}m}.\end{array}$

zeta fonksiyonu içeren diğer serilerle ilişkisi:

$\begin{array}{cc}\gamma & =\frac{3}{2}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{m-1}{m}[\zeta (m)-1]\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{2n-1}{2n}-\ln n+\sum _{k=2}^n(\frac{1}{k}-\frac{\zeta (1-k)}{n^k})]\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{2^n}{e^{2^n}}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{mn}}{(m+1)!}\sum _{t=0}^m\frac{1}{t+1}-n\ln 2+O\left(\frac{1}{2^n{e}^{2^n}}\right)].\end{array}$

Son denklemde n sayısı nedeniyle hata teriminin hızla azalması hesaplama için uygundur.

Diğer ilginç limit eşitliği Euler–Mascheroni sabitinin antisimetrik limitidir. (Sondow, 1998)

$\gamma =\underset{s\to 1^{+}}{\lim }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n})=\underset{s\to 1}{\lim }(\zeta (s)-\frac{1}{s-1})$

ve

$\begin{array}{c}\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(\lceil \frac{n}{k}\rceil -\frac{n}{k}).\end{array}$

rasyonel zeta serisi ifadesi ile de yakında ilişkilidir.

$\gamma =\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n-\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (m,n+1)}{m}$

Burada ζ(s,k) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur. Bu denklem harmonik sayılar'ın toplamını içermektedir., H_n. Hurwitz zeta fonksiyonu'nun açılımındaki bazı terimler:

$H_n=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\epsilon$, burada $0<\epsilon <\frac{1}{252n^6}.$

Kaynakça

• Şablon:Dergi kaynağı Derives γ as sums over Riemann zeta functions.
• Gourdon, Xavier, and Sebah, P. (2002) "Collection of formulas for Euler's constant, γ. Şablon:Webarşiv"
• ----- (2004) "The Euler constant: γ. Şablon:Webarşiv"
• Donald Knuth (1997) The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4
• Krämer, Stefan (2005) Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen. Diplomarbeit, Universität Göttingen.
• Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," Mathematics Magazine 71: 219-220.
• ------ (2002) "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant." With an Appendix by Sergey Zlobin, Mathematica Slovaca 59: 307-314.
• ------ (2003) "An infinite product for e^γ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ."
• ------ (2003a) "Criteria for irrationality of Euler's constant," Proceedings of the American Mathematical Society 131: 3335-3344.
• ------ (2005) "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula," American Mathematical Monthly 112: 61-65.
• ------ (2005) "New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π."
• ------ and Wadim Zudilin (2006), "Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper," Ramanujan Journal 12: 225-244.
• G. Vacca (1926), "Nuova serie per la costante di Eulero, C = 0,577…". Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (6) 3, 19–20.
• James Whitbread Lee Glaisher (1872), "On the history of Euler's constant". Messenger of Mathematics. New Series, vol.1, p. 25-30, JFM 03.0130.01
• Carl Anton Bretschneider (1837). "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Crelle Journal, vol.17, p. 257-285 (submitted 1835)
• Lorenzo Mascheroni (1790). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur". Galeati, Ticini.
• Lorenzo Mascheroni (1792). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri. In quibus nonnullae formulae ab Eulero propositae evolvuntur". Galeati, Ticini. Both online at: http://books.google.de/books?id=XkgDAAAAQAAJ Şablon:Webarşiv
• Şablon:Kitap kaynağı

Dış bağlantılar

• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı