Beta fonksiyonu

beta fonksiyonunun kontür çizimi

Pozitif x ve y degerleri için beta fonksiyonunun bir çizimi

Matematik'te, beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür, $\text{Re}(x),\text{Re}(y)>0.$

için bu özel fonksiyon'unun tanımı

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$

Beta fonksiyonu Jacques Binet tarafından öğrencileri Euler ve Legendre'ye adandı.

Özellikler

Beta fonksiyonu simetrik'tir, yani

$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x).$

yerine konulan Birçok diğer formları da vardır:

$\mathrm{B}(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x{)}^2}{\mathrm{\Gamma }(2x)}$

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

$\mathrm{B}(x,y)=2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(\sin \theta {)}^{2x-1}(\cos \theta {)}^{2y-1}d\theta ,\text{Re}(x)>0,\text{Re}(y)>0$

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt,\text{Re}(x)>0,\text{Re}(y)>0$

$\mathrm{B}(x,y)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-y}{n})}{x+n},$

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{x+y}{xy}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{xy}{n(x+y+n)})}^{-1},$

$\mathrm{B}(x,y)\cdot \mathrm{B}(x+y,1-y)=\frac{\pi }{x\sin (\pi y)},$

Burada $\mathrm{\Gamma }$ gama fonksiyonu'dur.

özellikle eşitlikteki ikinci gösterimden elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela trigonometrik formül,

$\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$.

$\mathrm{B}(1/2)=\pi$.

Kartezyen Koordinatlar'daki n-küre hacminin türevleri'ne uygulanabilir .

Sadece tam sayılar için yazılan gama fonksiyonu faktöriyel'dir, beta fonksiyonu binomial katsayılar endeksi tarafından tanımlanabilir:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{1}{(n+1)\mathrm{B}(n-k+1,k+1)}.$

Ayrıca her $n$ tam sayısı için, $\mathrm{B}$'nın $k$ sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(-1{)}^{n}n!\frac{\sin (\pi k)}{\pi \prod _{i=0}^n(k-i)}.$

İlk kez Gabriele Veneziano, sicim teorisi'deki,genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.

Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki

Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;

$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-u}{u}^{x-1}du\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-v}{v}^{y-1}dv.$

Şimdi, $u\equiv a^2$, $v\equiv b^2$,yazalım,böylece

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a^2}{a}^{2x-1}\mathrm{d}a\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-b^2}{b}^{2y-1}db\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(a^2+b^2)}|a{|}^{2x-1}|b{|}^{2y-1}dadb.\end{array}$

Kutupsal koordinatlara dönüşümü $a=r\cos \theta$, $b=r\sin \theta$:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}|r\cos \theta {|}^{2x-1}|r\sin \theta {|}^{2y-1}rdrd\theta \\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}{r}^{2x+2y-2}rdr\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|(\cos \theta {)}^{2x-1}(\sin \theta {)}^{2y-1}|d\theta \\ & =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}{r}^{2(x+y-1)}d(r^2)4\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(\cos \theta {)}^{2x-1}(\sin \theta {)}^{2y-1}d\theta \\ & =\mathrm{\Gamma }(x+y)2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(\cos \theta {)}^{2x-1}(\sin \theta {)}^{2y-1}d\theta \\ & =\mathrm{\Gamma }(x+y)\mathrm{B}(x,y).\end{array}$

Dolayısıyla, beta fonksiyonunun kullanılan formu ve değişkenleri yeniden:

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}.$

Diğer bir türetim, bir özel durumu için konvolüsyon integrali alınırsa

$f(u):=e^{-u}{u}^{x-1}{1}_{{ℝ}_{+}}$ and $g(u):=e^{-u}{u}^{y-1}{1}_{{ℝ}_{+}}$, sonuç kolayca:

$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)=(\underset{ℝ}{\int }f(u)du)(\underset{ℝ}{\int }g(u)du)=\underset{ℝ}{\int }(f*g)(u)du=\mathrm{B}(x,y)\mathrm{\Gamma }(x+y)$.

Türevleri

türevleri sırasıyla:

$\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)(\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x+y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)})=\mathrm{B}(x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))$

burada $\psi (x)$ digama fonksiyonu'dur.

Integralleri

Nörlund-Rice integral beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir .

Yaklaşıklıklar

Asimptotik formül,Stirling yaklaşıklığı'nı verir.

x büyük y büyük ise,

$\mathrm{B}(x,y)\sim \sqrt{2\pi }\frac{x^{x-\frac{1}{2}}{y}^{y-\frac{1}{2}}}{{\left(x+y\right)}^{x+y-\frac{1}{2}}}$

diğer bir durumx büyük ve y sabit ise,

$\mathrm{B}(x,y)\sim \mathrm{\Gamma }(y)x^{-y}.$

Tamamlanmamış beta fonksiyonu

Tamamlanmamış demek integralin bir sinirinin kapali(burada 0dan x'a) diğer sinirinin açik olmasi demektir. Beta fonksiyonunun bir genellemesi Tamamlanmamış beta fonksiyonu 'dur.

Tanımı

$\mathrm{B}(x;a,b)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt.$

x = 1, için tamamlanmamış beta fonksiyonu ile tamamlanmış beta fonksiyonu çakışır.Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekli tamamlanmamış gama fonksiyonu arasında da vardır..

düzenlenmiş,tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu) şeklinde tanımlanan bu iki fonksiyonun terimleri:

$I_x(a,b)=\frac{\mathrm{B}(x;a,b)}{\mathrm{B}(a,b)}.$

a ve b tam sayı değerleri için bilinen integral dışında (parçalanmış integrasyon kullanılabilir):

$I_x(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}\frac{(a+b-1)!}{j!(a+b-1-j)!}{x}^j(1-x{)}^{a+b-1-j}.$

Binom dağılımı'nın, bir rastgele değişkeni X " başarı olasılığı" p örnekleme boyutu n olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede; Düzenlenmiş- tamamlanmamış beta fonksiyonu kullanılabilir ve burada :

$F(k;n,p)=\mathrm{Pr}(X\le k)=I_{1-p}(n-k,k+1).$

Özellikler

$I_0(a,b)=0$

$I_1(a,b)=1$

$I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)$

(Listede diğer birçok özellikler olabilir.)

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Beta dağılımı
• Binom dağılımı
• Jacobi toplamı,sonlu alanlar üzerinde beta fonksiyonunun analogları.
• Negatif binom dağılımı
• Yule–Simon dağılımı
• Tekdüze dağılım (devamlılık)
• Gama fonksiyonu

Kaynakça

• Şablon:Dlmf
• M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See §6.2, 6.6, and 26.5)Şablon:Webarşiv
• W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)
• Şablon:Planetmath reference
• Arbitrarily accurate values can be obtained from The Wolfram Functions SiteŞablon:Webarşiv, Evaluate Beta Regularized Incomplete beta Şablon:Webarşiv

Dış bağlantılar

• CephesŞablon:Webarşiv - C and C++ language special functions math library
• Beta Function Calculator
• Incomplete Beta Function Calculator
• Regularized Incomplete Beta Function Calculator