Legendre polinomları

Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları, aşağıdaki Legendre diferansiyel denkleminin çözümleridir.

$L=\frac{d}{dx}(1-x^2)\frac{d}{dx}+l(l+1)*y$ ; $l\in (0,{\mathbb{Z}}^{+})$

Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde, kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar.

Özyineli tanımlama

Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir;

$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n(x)t^n.$ (Denklem I)

(Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:

$P_0(x)=1,P_1(x)=x$

Bu ilk iki terim Legendre polinomudur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:

n	$P_n(x)$
0	$1$
1	$x$
2	$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(3x^2-1)$
3	$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(5x^3-3x)$
4	$\begin{array}{c}\frac{1}{8}\end{array}(35x^4-30x^2+3)$
5	$\begin{array}{c}\frac{1}{8}\end{array}(63x^5-70x^3+15x)$
6	$\begin{array}{c}\frac{1}{16}\end{array}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$
7	$\begin{array}{c}\frac{1}{16}\end{array}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)$
8	$\begin{array}{c}\frac{1}{128}\end{array}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)$
9	$\begin{array}{c}\frac{1}{128}\end{array}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)$
10	$\begin{array}{c}\frac{1}{256}\end{array}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)$

Çözümü

Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.

$Ly=0$

Burada L, Legendre operatörüdür.

Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.

$y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$

$y^{\prime }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{x}^{n-1}$

$y^{″}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n(n-1)a_n{x}^{n-2}$

ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,

$Ly$	$=(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+l(l+1)y$
	$=(1-x^2)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n(n-1)a_n{x}^{n-2}-2x\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{x}^{n-1}+l(l+1)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$
	$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[-n(n-1)-2n+l(l+1)]a_n{x}^n+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n(n-1)a_n{x}^{n-2}$
	$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[l^2-n^2+l-n]a_n{x}^n+\sum _{n=-2}^{\mathrm{\infty }}(n+2)(n+1)a_{n+2}{x}^n$
	$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[(l+n+1)(l-n)a_n+(n+2)(n+1)a_{n+2}]x^n$
	$=0$

Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:

$a_2=-\frac{l(l+1)}{2}{a}_0$

olur. Genellenirse

$a_{n+2}=-\frac{(l+n+1)(l-n)}{(n+2)(n+1)}{a}_n$

Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+2}{x}^{n+2}}{a_n{x}^n}\right|<1$

şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak

$n=-l\text{ veya }n=-(l+1)$

şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.

Legendre polinomlarının ek özellikleri

Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyle ki

$P_n(-x)=(-1{)}^n{P}_n(x).$

diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir, ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı

$P_n(1)=1.$

ve son noktada türev ile veriliyor

${P_n}^{\prime }(1)=\frac{n(n+1)}{2}.$

yukardaki soruda, Bonnet'in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi, bilinen Legendre polinomları ile uyumludur

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x)$

ve

$\frac{x^2-1}{n}\frac{d}{dx}{P}_n(x)=x{P}_n(x)-P_{n-1}(x).$

Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;

$(2n+1)P_n(x)=\frac{d}{dx}[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)].$

yukardakinden şu görülebilir

$\frac{d}{dx}{P}_{n+1}(x)=(2n+1)P_n(x)+(2(n-2)+1)P_{n-2}(x)+(2(n-4)+1)P_{n-4}(x)+\dots$

veya eşdeğeri

$\frac{d}{dx}{P}_{n+1}(x)=\frac{2P_n(x)}{\Vert P_n(x){\Vert }^2}+\frac{2P_{n-2}(x)}{\Vert P_{n-2}(x){\Vert }^2}+\dots$

burada $\Vert P_n(x)\Vert$ −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur

$\Vert P_n(x)\Vert =\sqrt{\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(P_n(x){)}^{2}dx}=\sqrt{\frac{2}{2n+1}}.$

Bonnet'in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile

$P_n(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)}^2{\left(\frac{1+x}{2}\right)}^{n-k}{\left(\frac{1-x}{2}\right)}^k.$

elde edilir.Askey–Gasper eşitsizliği'nden Legendre polinomları için okunan

$\sum _{j=0}^n{P}_j(x)\ge 0(x\ge -1).$

Legendre polinomlarının bir toplamı $-1\le y\le 1$ için ve $-1\le x\le 1$ için Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir

$\delta (y-x)=\frac{1}{2}\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)P_{\ell }(y)P_{\ell }(x).$

birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir

$P_{\ell }(r\cdot r^{\prime })=\frac{4\pi }{2\ell +1}\sum _{m=-\ell }^{\ell }{Y}_{\ell m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell m}^{*}({\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime }).$

burada sırasıyla birim vektörler r ve r' küresel koordinatlar $(\theta ,\varphi )$ ve $({\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime })$ var,

Asimptotiklik $\ell \to \mathrm{\infty }$ birimden yoksun eklentiler için

$P_{\ell }(\cos \theta )=J_0(\ell \theta )+𝒪({\ell }^{-1})=\frac{2}{\sqrt{2\pi \ell \sin \theta }}\cos [(\ell +\frac{1}{2})\theta -\frac{\pi }{4}]+𝒪({\ell }^{-1})$

ve birimden büyük eklentiler için

$P_{\ell }\left(\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}\right)=I_0(\ell e)+𝒪({\ell }^{-1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi \ell e}}\frac{(1+e{)}^{(\ell +1)/2}}{(1-e{)}^{\ell /2}}+𝒪({\ell }^{-1}),$

burada $J_0$ ve $I_0$ Bessel fonksiyonlarıdır.

Legendre polinomlarının kayması

Kayan Legendre polinomları $\widetilde{P_n}(x)=P_n(2x-1)$ olarak tanımlanır. Burada "kayan" fonksiyon $x\mapsto 2x-1$ (aslında, bu bir afin dönüşüm'dür) böylece seçilen bu örten gönderme [0, 1] aralığından [−1, 1] aralığına vurgusu yapilan $\widetilde{P_n}(x)$ polinomları [0, 1] arasında bulunur:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\widetilde{P_m}(x)\widetilde{P_n}(x)dx=\frac{1}{2n+1}{\delta }_{mn}.$

kayan Legendre polinomu için bir

$\widetilde{P_n}(x)=(-1{)}^n\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})(-x{)}^k.$

açık bağıntı ile veriliyor

kayan Legendre polinomları için Rodrigues' formülünün analoğu

$\widetilde{P_n}(x)=\frac{1}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}[(x^2-x{)}^n].$

ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır:

n	$\widetilde{P_n}(x)$
0	1
1	$2x-1$
2	$6x^2-6x+1$
3	$20x^3-30x^2+12x-1$
4	$70x^4-140x^3+90x^2-20x+1$

Legendre fonksiyonları

Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu ikinci türün Legendre fonksiyonlarıdır,$Q_n(x)$ ile ifade edilir.

$Q_n(x)=\frac{n!}{1.3\cdots (2n+1)}[x^{-(n+1)}+\frac{(n+1)(n+2)}{2(n+3)}{x}^{-(n+3)}+\frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2.4(2n+3)(2n+5)}{x}^{-(n+5)}+\cdots ]$

Diferansiyel denklem

$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)]+n(n+1)f(x)=0$

genel çözümü var

$f(x)=A{P}_n(x)+B{Q}_n(x)$,

burada A ve B sabitlerdir.

Kesirli derecenin Legendre fonksiyonları

Şablon:Ana Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından ve tam sayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir, ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.Asosiye Legendre polinomları PŞablon:Su ile Kesirli dereceli Legendre fonksiyonu P_n uyumludur.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Legendre fonksiyonlarıyla ilişkisi
• Gaussian dörtlüsü
• Gegenbauer polinomları
• Legendre kesirli fonksiyonları
• Turán eşitsizliği
• Legendre dalgacığı
• Jacobi polinomları
• Küresel Harmonikler

Kaynakça

• Şablon:Abramowitz Stegun ref2
• Şablon:Kaynak, Chapter 2.
• Şablon:Kaynak.
• Şablon:Kaynak.
• Şablon:Dlmf
• Şablon:Dlmf
• Şablon:Kaynak

Dış bağlantılar

• A quick informal derivation of the Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogenŞablon:Webarşiv
• Şablon:Springer
• Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomialsŞablon:Webarşiv
• Module for Legendre Polynomials by John H. Mathews
• Dr James B. Calvert's article on Legendre polynomials from his personal collection of mathematicsŞablon:Webarşiv
• The Legendre Polynomials by Carlyle E. Moore
• Legendre Polynomials from Hyperphysics Şablon:Webarşiv