Matris çarpımı

Şablon:Kaynaksız Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris çarpımı, bir matris çiftinde yapılan ve başka bir matris üreten ikili işlemdir. Reel veya karmaşık sayılar gibi sayılarda temel aritmetiğe uygun olarak çarpma yapılabilir. Başka bir ifade ile matrisler, sayı dizileridir. Bu yüzden, matris çarpımını ifade eden tek bir yöntem yoktur. "Matris çarpımı" terimi çoğunlukla, matris çarpımının farklı yöntemlerini ifade eder. Matris çarpımının anahtar özellikleri şunlardır: Asıl matrislerin satır ve sütun sayıları, (matrisin "boyutu" olarak adlandırılır) ve matrislerin girişlerinin nasıl yeni bir matris oluşturacağıdır.

Vektörler gibi herhangi bir boyutlu matrislerde de, nokta çarpım yapılabilir. Bu işlem, matrisin her bir girişinin (ögesinin) aynı sayı (skaler) ile çarpılmasıdır. Matrislerin toplanması veya çıkarılması işlemleri de benzer şekilde yapılır.

Matris çarpımı başka yöntemlerle de yapılabilir. Fakat en kullanışlı yöntemler, doğrusal denklemler ve doğrusal dönüşümlerle elde edilir. Sayısal uygulamaları, uygulamalı matematik, fizik ve mühendislikte görülür.

Tanım

Skaler çarpma

Şablon:Ana Matrislerle ilgili en basit çarpma formu skaler çarpmadır.

Bir Şablon:Matematik matrisinin Şablon:Matematik skaleri ile sol skaler çarpma işlemi sonucunda Şablon:Matematik ile aynı boyutlu fakat farklı bir matris elde edilir. Bu Şablon:Matematik çarpma işlemi, aşağıdaki şekilde ifade edilir;

$(\lambda 𝐀{)}_{ij}=\lambda {\left(𝐀\right)}_{ij},$

Daha açık ifade ile:

$\lambda 𝐀=\lambda \left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1m}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nm}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\lambda A_{11}& \lambda A_{12}& \cdots & \lambda A_{1m}\\ \lambda A_{21}& \lambda A_{22}& \cdots & \lambda A_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \lambda A_{n1}& \lambda A_{n2}& \cdots & \lambda A_{nm}\end{array}\right).$

Benzer şekilde, bir Şablon:Matematik matrisinin Şablon:Matematik skaleri ile sağ skaler çarpma işlemi şöyledir:

$(𝐀\lambda {)}_{ij}={\left(𝐀\right)}_{ij}\lambda ,$

Daha açık ifade ile:

$𝐀\lambda =\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1m}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nm}\end{array}\right)\lambda =\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}\lambda & A_{12}\lambda & \cdots & A_{1m}\lambda \\ A_{21}\lambda & A_{22}\lambda & \cdots & A_{2m}\lambda \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}\lambda & A_{n2}\lambda & \cdots & A_{nm}\lambda \end{array}\right).$

halkada eğer bir değişme özelliği varsa, örneğin; reel veya karmaşık sayılarda bu iki çarpım (skaler çarpım ve nokta çarpım), aynı anlama gelir ve basitçe skaler çarpım olarak adlandırılır. Fakat matrisler için, daha genel ifade ile halka (örneğin dördey) için değişme özelliği yoksa bu iki çarpım aynı anlama gelmez. Bir reel skaler ve matris şöyle olsun:

$\lambda =2,𝐀=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

$2𝐀=2\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot a& 2\cdot b\\ 2\cdot c& 2\cdot d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a\cdot 2& b\cdot 2\\ c\cdot 2& d\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)2=𝐀2.$

Dördeyin skalerleri ve matrisleri de şöyle olsun:

$\lambda =i,𝐀=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& j\end{array}\right)$

$i\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& j\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{i}^2& 0\\ 0& ij\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& k\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{i}^2& 0\\ 0& ji\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& j\end{array}\right)i,$

Burada Şablon:Matematik, dördeyin birimleridir. Dördeyde çarpma işleminin değişmeli olamaması, Şablon:Matematik ile Şablon:Matematik değişiminin yapılmasını engeller.

Matris çarpma (iki matris)

İki matrisin çarpılacağını varsayalım.

Matris çarpmanın genel tanımı

Şablon:Matematik matrisinin Şablon:Matematik satırındaki ve Şablon:Matematik matrisinin Şablon:Matematik sütunundaki sayıların çarpımı (düz çizgiler) ile terimlerin (kesikli çizgiler) toplanması aritmetik işlemi son matrisdeki Şablon:Matematik girişlerini verir.

Eğer Şablon:Matematik, Şablon:Matematik boyutlu bir matris ve Şablon:Matematik, Şablon:Matematik boyutlu bir matris ise;

$𝐀=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1m}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nm}\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{12}& \cdots & B_{1p}\\ B_{21}& B_{22}& \cdots & B_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{m1}& B_{m2}& \cdots & B_{mp}\end{array}\right)$

Şablon:Matematik matris çarpma (çarpım işaretsiz veya noktasız ifade edilir), Şablon:Matematik matrisi olarak ifade edilir.

$𝐀𝐁=\left(\begin{array}{cccc}{\left(𝐀𝐁\right)}_{11}& {\left(𝐀𝐁\right)}_{12}& \cdots & {\left(𝐀𝐁\right)}_{1p}\\ {\left(𝐀𝐁\right)}_{21}& {\left(𝐀𝐁\right)}_{22}& \cdots & {\left(𝐀𝐁\right)}_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\left(𝐀𝐁\right)}_{n1}& {\left(𝐀𝐁\right)}_{n2}& \cdots & {\left(𝐀𝐁\right)}_{np}\end{array}\right)$

Burada her bir Şablon:Matematik girişi, Şablon:Matematik girişleri Şablon:Matematik matrisinin Şablon:Matematik satırı) ile Şablon:Matematik girişleri (Şablon:Matematik matrisinin Şablon:Matematik sütunu) çarpımıdır. Şablon:Matematik ve, Şablon:Matematik sonuçlar toplamı şöyle ifade edilir:

$(𝐀𝐁{)}_{ij}=\sum _{k=1}^m{A}_{ik}{B}_{kj}.$

Girişler genellikle sayı veya ifadelerle belirtilir. Fakat matrislerin kendisi de bir giriş olabilir. (Blok matrise bakınız).

Şekilsel gösterim

Sağdaki şekil, Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik iki matrisinin çarpımını şematik olarak gösteriyor. Sonuçta elde edilen matris 4'e 3'lük Şablon:Matematik matrisi olsun.

$\stackrel{4\times 2\text{ matris}}{\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ \cdot & \cdot \\ a_{31}& a_{32}\\ \cdot & \cdot \end{array}\right]}\stackrel{2\times 3\text{ matris}}{\left[\begin{array}{ccc}\cdot & b_{12}& b_{13}\\ \cdot & b_{22}& b_{23}\end{array}\right]}=\stackrel{4\times 3\text{ matris}}{\left[\begin{array}{ccc}\cdot & x_{12}& x_{13}\\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & x_{32}& x_{33}\\ \cdot & \cdot & \cdot \end{array}\right]}$

Şekilde, çemberle işaretlenen hücrelerin değerleri şunlardır:

$\begin{array}{cc}{x}_{12}& =a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}\\ x_{13}& =a_{11}{b}_{13}+a_{12}{b}_{23}\\ x_{32}& =a_{31}{b}_{12}+a_{32}{b}_{22}\\ x_{33}& =a_{31}{b}_{13}+a_{32}{b}_{23}\end{array}$

Yukarıdakiler, Şablon:Matematik matrisinin belirlenen girişleridir.

Matris çarpmaya örnekler

Satır vektör ve sütun vektör

Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),$

Burada matris çarpma işlemi şöyle:

$𝐀𝐁=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=ax+by+cz,$

Benzer şekilde;

$𝐁𝐀=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}xa& xb& xc\\ ya& yb& yc\\ za& zb& zc\end{array}\right).$

Şablon:Matematik ile Şablon:Matematiknın çok farklı matrisler olduğuna dikkat edin. İlk matris Şablon:Matematik boyutlu matris iken, ikincisi Şablon:Matematik boyutlu matristir.

Şablon:ÇengelKare matris ve sütun vektörü

Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ p& q& r\\ u& v& w\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),$

Burada matris çarpma işlemi şöyle:

$𝐀𝐁=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ p& q& r\\ u& v& w\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ax+by+cz\\ px+qy+rz\\ ux+vy+wz\end{array}\right),$

Bu örnekte Şablon:Matematik tanımlı değildir.

Bir kare matrisi, sütun matrisi ile çarpma, doğrusal denklemleri çözme ve doğrusal dönüşümleri ifade etmek için sıkça kullanılır.

Kare matrisler

Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ p& q& r\\ u& v& w\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ \lambda & \mu & \nu \\ \rho & \sigma & \tau \end{array}\right),$

Burada matris çarpma işlemi şöyledir:

$𝐀𝐁=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ p& q& r\\ u& v& w\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ \lambda & \mu & \nu \\ \rho & \sigma & \tau \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a\alpha +b\lambda +c\rho & a\beta +b\mu +c\sigma & a\gamma +b\nu +c\tau \\ p\alpha +q\lambda +r\rho & p\beta +q\mu +r\sigma & p\gamma +q\nu +r\tau \\ u\alpha +v\lambda +w\rho & u\beta +v\mu +w\sigma & u\gamma +v\nu +w\tau \end{array}\right),$

Benzer şekilde;

$𝐁𝐀=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ \lambda & \mu & \nu \\ \rho & \sigma & \tau \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ p& q& r\\ u& v& w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\alpha a+\beta p+\gamma u& \alpha b+\beta q+\gamma v& \alpha c+\beta r+\gamma w\\ \lambda a+\mu p+\nu u& \lambda b+\mu q+\nu v& \lambda c+\mu r+\nu w\\ \rho a+\sigma p+\tau u& \rho b+\sigma q+\tau v& \rho c+\sigma r+\tau w\end{array}\right).$

Bu durumda hem Şablon:Matematik hem de Şablon:Matematik matrisi tanımlıdır. Fakat Şablon:Matematik ile Şablon:Matematik matrisinin girişleri çoğunlukla eşit değildir.

Satır vektör, kare matris ve sütun vektör

Aşağıdaki gibi üç matris verilsin;

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ \lambda & \mu & \nu \\ \rho & \sigma & \tau \end{array}\right),𝐂=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),$

Burada matris çarpma işlemi şöyledir:

$\begin{array}{cc}𝐀𝐁𝐂& =\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)\left[\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ \lambda & \mu & \nu \\ \rho & \sigma & \tau \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\right]=\left[\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ \lambda & \mu & \nu \\ \rho & \sigma & \tau \end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha x+\beta y+\gamma z\\ \lambda x+\mu y+\nu z\\ \rho x+\sigma y+\tau z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a\alpha +b\lambda +c\rho & a\beta +b\mu +c\sigma & a\gamma +b\nu +c\tau \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\\ & =a\alpha x+b\lambda x+c\rho x+a\beta y+b\mu y+c\sigma y+a\gamma z+b\nu z+c\tau z,\end{array}$

Bu durumda Şablon:Matematik tanımlı değildir. Şablon:Matematik olduğuna dikkat edin. Bu çok genel özelliklerden biridir.

Dikdörtgen matris

Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ x& y& z\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \rho \\ \beta & \sigma \\ \gamma & \tau \end{array}\right),$

Burada matris çarpma işlemi şöyledir:

$𝐀𝐁=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ x& y& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\alpha & \rho \\ \beta & \sigma \\ \gamma & \tau \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a\alpha +b\beta +c\gamma & a\rho +b\sigma +c\tau \\ x\alpha +y\beta +z\gamma & x\rho +y\sigma +z\tau \end{array}\right),$

Benzer şekilde;

$𝐁𝐀=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \rho \\ \beta & \sigma \\ \gamma & \tau \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ x& y& z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\alpha a+\rho x& \alpha b+\rho y& \alpha c+\rho z\\ \beta a+\sigma x& \beta b+\sigma y& \beta c+\sigma z\\ \gamma a+\tau x& \gamma b+\tau y& \gamma c+\tau z\end{array}\right).$

Matris çarpmanın özellikleri

Tüm matrisler

1. Değişme özelliği yoktur:

Genellikle:

$𝐀𝐁\ne 𝐁𝐀$

Çünkü Şablon:Matematik ile Şablon:Matematik, eşzamanlı olarak tanımlanamazlar. Tanımlansalar bile eşit olamazlar. Bu, sayıların çarpılmasına terstir. Matris çarpımını büyüklüğünü kelimelerle ifade etmek için; Şablon:Matematik nın Şablon:Matematik ile "ön çarpımı (veya sol çarpımı)" Şablon:Matematik olurken, "Şablon:Matematik nın Şablon:Matematik ile son çarpımı (veya sağ çarpımı) " Şablon:Matematik olur. Matrisin tüm girişleri bir birime sahip halkada bulunduğu ve Şablon:Matematik olduğu müddetçe, halkada bir çift Şablon:Matematik değiştirilemez matris olur. Buna tek istisna birim matris (veya herhangi bir skaler çarpımı)dır.

Dizi gösterimi:

$\sum _k{A}_{ik}{B}_{kj}\ne \sum _k{B}_{ik}{A}_{kj}$

2. Matrisin toplama üzerine dağılma özelliği vardır:

Sol dağılım:

$𝐀(𝐁+𝐂)=𝐀𝐁+𝐀𝐂$

Sağ dağılım:

$(𝐀+𝐁)𝐂=𝐀𝐂+𝐁𝐂$

Dizi gösteriminde sırasıyla bunlar:

$\sum _k{A}_{ik}(B_{kj}+C_{kj})=\sum _k{A}_{ik}{B}_{kj}+\sum _k{A}_{ik}{C}_{kj}$

$\sum _k(A_{ik}+B_{ik})C_{kj}=\sum _k{A}_{ik}{C}_{kj}+\sum _k{B}_{ik}{C}_{kj}$

3. Skaler çarpma, matris çarpımı ile uyumludur:

$\lambda (𝐀𝐁)=(\lambda 𝐀)𝐁$ and $(𝐀𝐁)\lambda =𝐀(𝐁\lambda )$

Burada Şablon:Matematik bir skalerdir. Eğer matrisin tüm girişleri reel veya karmaşık sayı ise, tüm dört miktarda eşit olur. Daha genel bir ifade ile, eğer Şablon:Matematik matrisin girişlerinin halkasının merkezinde ise, tüm dördü de eşit olur. Çünkü bu durumda, tüm Şablon:Matematik matrisleri için, Şablon:Matematik olur. Dizin gösterimi sırasıyla şöyle olur:

$\lambda \sum _k(A_{ik}{B}_{kj})=\sum _k(\lambda A_{ik})B_{kj}=\sum _k{A}_{ik}(\lambda B_{kj})$

$\sum _k(A_{ik}{B}_{kj})\lambda =\sum _k(A_{ik}\lambda )B_{kj}=\sum _k{A}_{ik}(B_{kj}\lambda )$

4. Transpoze:

$(𝐀𝐁{)}^{\mathrm{T}}={𝐁}^{\mathrm{T}}{𝐀}^{\mathrm{T}}$

Burada Şablon:Matematik, transpozeyi ifade eder.

Dizi gösteriminde:

$\begin{array}{cc}{[(𝐀𝐁{)}^{\mathrm{T}}]}_{ij}& ={\left(𝐀𝐁\right)}_{ji}\\ & =\sum _k{\left(𝐀\right)}_{jk}{\left(𝐁\right)}_{ki}\\ & =\sum _k{\left({𝐀}^{\mathrm{T}}\right)}_{kj}{\left({𝐁}^{\mathrm{T}}\right)}_{ik}\\ & =\sum _k{\left({𝐁}^{\mathrm{T}}\right)}_{ik}{\left({𝐀}^{\mathrm{T}}\right)}_{kj}\\ & ={\left[\left({𝐁}^{\mathrm{T}}\right)\left({𝐀}^{\mathrm{T}}\right)\right]}_{ij}\end{array}$

5. Karmaşık eşlenik: Eğer Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik karmaşık girişlerden oluşuyorsa, bu durumda;

$(𝐀𝐁{)}^{\star }={𝐀}^{\star }{𝐁}^{\star }$

olur. Burada Şablon:Matematik, bir matrisin karmaşık eşleniğini ifade eder.

Dizi gösteriminde:

$\begin{array}{cc}{[(𝐀𝐁{)}^{\star }]}_{ij}& ={\left[\sum _k{\left(𝐀\right)}_{ik}{\left(𝐁\right)}_{kj}\right]}^{\star }\\ & =\sum _k{\left(𝐀\right)}_{ik}^{\star }{\left(𝐁\right)}_{kj}^{\star }\\ & =\sum _k{\left({𝐀}^{\star }\right)}_{ik}{\left({𝐁}^{\star }\right)}_{kj}\\ & ={\left({𝐀}^{\star }{𝐁}^{\star }\right)}_{ij}\end{array}$

6. Eşlenik transpozesi:

Eğer Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik karmaşık girişlerden oluşuyorsa, bu durumda;

$(𝐀𝐁{)}^{†}={𝐁}^{†}{𝐀}^{†}$

Burada Şablon:Matematik, bir matrisin karmaşık transpozesini ifade eder.

Dizi gösteriminde:

$\begin{array}{cc}{[(𝐀𝐁{)}^{†}]}_{ij}& ={\left[{\left(𝐀𝐁\right)}^{\star }\right]}_{ji}\\ & =\sum _k{\left({𝐀}^{\star }\right)}_{jk}{\left({𝐁}^{\star }\right)}_{ki}\\ & =\sum _k{\left({𝐀}^{†}\right)}_{kj}{\left({𝐁}^{†}\right)}_{ik}\\ & =\sum _k{\left({𝐁}^{†}\right)}_{ik}{\left({𝐀}^{†}\right)}_{kj}\\ & ={\left[\left({𝐀}^{†}\right)\left({𝐁}^{†}\right)\right]}_{ij}\end{array}$

7. İlkköşegen toplamı: Şablon:Matematik çarpımının ilkköşegen toplamı Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik matrislerinin büyüklüğünden bağımsızdır:

$\mathrm{t}\mathrm{r}(𝐀𝐁)=\mathrm{t}\mathrm{r}(𝐁𝐀)$

Dizi gösteriminde:

$\begin{array}{cc}\mathrm{t}\mathrm{r}(𝐀𝐁)& =\sum _i\sum _k{A}_{ik}{B}_{ki}\\ & =\sum _k\sum _i{B}_{ki}{A}_{ik}\\ & =\mathrm{t}\mathrm{r}(𝐁𝐀)\end{array}$

Yalnızca kare matrisler

1. Birim matris:

Eğer Şablon:Matematik bir kare matris ise, bu durumda

$𝐀𝐈=𝐈𝐀=𝐀$

Burada Şablon:Matematik, aynı boyuta sahip birim matristir.

2. Tersinir matris:

Eğer Şablon:Matematik bir kare matris ise, Şablon:Matematik terslenebilir matrisi şöyle olur;

$𝐀{𝐀}^{-1}={𝐀}^{-1}𝐀=𝐈$

Bu durumda aşağıdaki eşitlik sağlanır;

$(𝐀𝐁{)}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}={𝐁}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}{𝐀}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$

3. Determinant: Şablon:Matematik çarpımının determinantı, Şablon:Matematik matrisinin determinantı ile Şablon:Matematik matrisinin determinantının çarpımına eşittir.

$\det (𝐀𝐁)=\det (𝐀)\det (𝐁)$

Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik yalnızca sayıdır. Bu yüzden, Şablon:Matematik olsa bile Şablon:Matematik olur.