Doğrusal dönüşüm

Şablon:Kaynaksız Şablon:Sidebar Doğrusal dönüşüm, bir fonksiyon çeşididir. T, M boyutlu bir vektörden N boyuta bir doğrusal dönüşüm ise, o zaman;

$T(a)+T(b)=T(a+b)$ ve herhangi bir sayı olan c için:

$T(c*a)=c.T(a)$

Eğer bu koşullar T için doğruysa, o zaman T,doğrusal bir dönüşümdür. Her doğrusal dönüşüm, $t(x)=Ax$ olarak ifade edilebilir. Burada A, bir matris'i temsil etmektedir. T bir dönüşüm matrisi olarak ifade edilebilir.

Tanımı ve ilk sonuçları

Diyelimki V ve W vektör uzayı aynı K alanı üzerinde olsun. Bir fonksiyonf: V → W idi.Herhangi iki vektör x ve y in V ve herhangi skaler α ve K bir lineer haritalama' ise, aşağıdaki iki koşul tatmin edici:

$f(𝐱+𝐲)=f(𝐱)+f(𝐲)$	toplanabilirlik
$f(\alpha 𝐱)=\alpha f(𝐱)$	açı 1'in homojenitesi

Bu vektörlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonunun için de aynı gereken eşdeğerdir,x₁, ..., x_m ∈ V ve skalerler a₁, ..., a_m ∈ K, aşağıdaki eşitlik tutar:

$f(a_1{𝐱}_1+\cdots +a_m{𝐱}_m)=a_{1}f({𝐱}_1)+\cdots +a_{m}f({𝐱}_m).$

α = 0 açı 1'in homojenitesi için denklem 0_V ve 0_W sıralanarak Vektör uzaylarının sıfır unsurlar ifade edenV ve W, bunlar aşağıdadır. f(0_V) = 0_W sağlıyor,

$f({\mathrm{𝟎}}_V)=f(0\cdot {\mathrm{𝟎}}_V)=0\cdot f({\mathrm{𝟎}}_V)={\mathrm{𝟎}}_W.$

Bazen,V ve W farklı alanlar üzerinde vektör uzayları olarak kabul edilebilir. Bu temel alanların tanımında kullanılmakta "doğrusal" olduğunu daha sonra belirtmek gerekir. Biz K-lineer haritalaması hakkında konuşuyoruz, eğer V ve W alanın üzerine uzay olarak kabul edilenK yukarıdaki gibi ise, Örnek için, karmaşık sayıların eşlenik bir R-lineer haritalamadır C → C, amaC-lineer değildir.

lineer harita V den Kya (bir vektör uzayı kendi üzerinde K ile gösterilen) bir doğrusal fonksiyonal olarak adlandırılır.

Bu tabloların genellemesi herhangi bir halka üzerindeR değişiklik olmadan sol-modül _RMdir.

matrislerin lineer dönüşümüne örnekler

R² iki-boyutlu uzay 2 × 2 gerçek matris. doğrusal haritalar açıklanmıştır. Burada bazı örnekler:

• 90 derece tarafından saat yönünün tersine rotasyon :

  $𝐀=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

• θaçısı tarafından saat yönünün tersine rotasyon:

  $𝐀=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

• yansıma karşısı x ekseni:

  $𝐀=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

• yansıma karşısı yekseni:

  $𝐀=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

• ölçekleme by 2 in bütün yönler:

  $𝐀=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$

• yatay kayma haritalama:

  $𝐀=\left(\begin{array}{cc}1& m\\ 0& 1\end{array}\right)$

• sıkı haritalama:

  $𝐀=\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1/k\end{array}\right)$

• izdüşüm üzerine y ekseni:

  $𝐀=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$

Ayrıca bakınız

• Afin dönüşümler
• Lineer denklemler
• sınırlı operatör
• Antilineer harita
• Yarıdoğrusal dönüşüm
• Sürekli doğrusal operatör