Çevre açı

Şablon:Ortala

Geometride, çevre açı, çember üzerinde iki sekant (kesen) çizgisi kesiştiğinde bir çember üzerinde oluşan açıdır. Çember üzerindeki bir nokta (açının tepe noktası) ile çember üzerinde verilen diğer iki noktanın oluşturduğu açı olarak da tanımlanabilir.

Eşdeğer olarak, bir çevre açı, bir bitiş noktasını paylaşan çemberin iki kirişiyle tanımlanır.

Çevre açı teoremi, bir çevre açının ölçüsünü, aynı yayı oluşturan merkezi açının ölçüsü ile ilişkilendirir.

Çevre açı teoremi, Öklid'in "Elementler" kitabının 3. kitabında Önerme 20 olarak görünür.

Teorem

Açıklama

Şablon:Ortala

Çevre açı teoremi, bir çember içine çizilmiş bir $\theta$ açısının, çember üzerindeki aynı yaya karşılık gelen (veya aynı yayı gören) merkezi açı $2\theta$'nın yarısı olduğunu belirtir. Bu nedenle, tepesi çember üzerinde farklı konumlara taşındığında açı değişmez.

İspat

Bir kirişin çap olduğu çevre açılar

Şablon:Ortala

Şekilde görüldüğü gibi $O$ bir çemberin merkezi olsun. Çember üzerinde iki nokta seçelim ve bunlara $V$ ve $A$ diyelim. $VO$ doğrusunu çizelim ve $O$'yu geçecek şekilde uzatalım, böylece $V$ noktasının çapa göre zıttı olan $B$ noktasında çemberle kesişir. Tepe noktası $V$ olan ve kenarları $A$ ve $B$ noktalarından geçen bir açı çizelim.

$OA$ doğrusunu çizelim. Açı $BOA$, bir merkez açıdır; buna $\theta$ diyelim. $OV$ ve $OA$ çizgilerinin her ikisi de çemberin yarıçaplarıdır, bu nedenle eşit uzunluklara sahiptirler. Bu nedenle, $\mathrm{△}VOA$ üçgeni ikizkenardır, öyle ise $\mathrm{\angle }BVA$ açısı (çevre açı) ve $\mathrm{\angle }VAO$ açısı eşittir; her birini $\psi$ olarak gösterelim.

$\mathrm{\angle }BOA$ ve $\mathrm{\angle }AOV$ açıları bütünlerdir. $O$'dan geçen $VB$ çizgisi düz bir doğru olana kadar toplamları $180^{\circ }$'ye kadar artar. Bu nedenle, $\mathrm{\angle }AOV$ açısının ölçüsü olarak $180^{\circ }-\theta$ alınabilir.

Bir üçgenin üç açısının toplamının $180^{\circ }$ olduğu ve $\mathrm{△}VOA$ üçgeninin üç açısının:

${\text{açı}}_1=180^{\circ }-\theta$

${\text{açı}}_2=\psi$

${\text{açı}}_3=\psi$.

Bu nedenle,

$2\psi +180^{\circ }-\theta =180^{\circ }.$

Her iki taraftan 180° çıkarırsak,

$2\psi =\theta ,$

burada $\theta$, $AB$ yayını gören merkez açı ve $\psi$, $AB$ yayını oluşturan çevre açıdır.

Çemberin merkezi, açının içinde kalan çevre açılar

Şablon:Ortala

Merkezi $O$ noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta $V$, $C$ ve $D$ alalım. $VC$ ve $VD$ doğrularını çizelim: $\mathrm{\angle }DVC$ açısı, bir çevre açıdır. Şimdi $VO$ doğrusunu çizelim ve onu $E$ noktasında çemberle kesişecek şekilde $O$ noktasını geçecek şekilde uzatalım. $\mathrm{\angle }DVC$ açısı, çember üzerindeki $DC$ yayını görür.

Bu yayın, içinde $E$ noktasını içerdiğini varsayalım. $E$ noktası, $V$ noktasının çapa göre karşısıdır. $\mathrm{\angle }DVE$ ve $\mathrm{\angle }EVC$ açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1'deki teorem bunlara uygulanabilir.

Bu nedenle,

$\mathrm{\angle }DVC=\mathrm{\angle }DVE+\mathrm{\angle }EVC.$

o zaman,

${\psi }_0=\mathrm{\angle }DVC,$

${\psi }_1=\mathrm{\angle }DVE,$

${\psi }_2=\mathrm{\angle }EVC,$

Böylece

${\psi }_0={\psi }_1+{\psi }_2.(1)$

$OC$ ve $OD$ doğrularını çizelim. $\mathrm{\angle }DOE$ ve $\mathrm{\angle }EOC$ açıları gibi $\mathrm{\angle }DOC$ açısı da merkezi bir açıdır ve

$\mathrm{\angle }DOC=\mathrm{\angle }DOE+\mathrm{\angle }EOC.$

${\theta }_0=\mathrm{\angle }DOC,$

${\theta }_1=\mathrm{\angle }DOE,$

${\theta }_2=\mathrm{\angle }EOC,$

olsun, böylece

${\theta }_0={\theta }_1+{\theta }_2.(2)$

Birinci bölümden biliyoruz ki ${\theta }_1=2{\psi }_1$ ve ${\theta }_2=2{\psi }_2$'dir. Bu sonuçların denklem (2) ile birleştirilmesi aşağıdaki sonucu verir:

${\theta }_0=2{\psi }_1+2{\psi }_2=2({\psi }_1+{\psi }_2)$

bu nedenle, denklem (1)'den aşağıdaki sonuç elde edilir:

${\theta }_0=2{\psi }_0.$

Çemberin merkezi, açının dışında kalan çevre açılar

Şablon:Ortala

Önceki durum, çevre açının ölçüsünün, bu ispatın ilk bölümünde tartışıldığı gibi iki çevre açı arasındaki fark olduğu durumu kapsayacak şekilde genişletilebilir.

Merkezi $O$ noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta $V$, $C$ ve $D$ seçilsin. $VC$ ve $VD$ doğrularını çizelim: $\mathrm{\angle }DVC$ açısı, bir çevre açıdır. Şimdi $VO$ doğrusunu çizelim ve $E$ noktasında çemberle kesişecek ve $O$ noktasını geçecek şekilde uzatalım. $\mathrm{\angle }DVC$ açısı, çember üzerindeki $DC$ yayını görür.

Bu yayın, içinde $E$ noktasını içermediğini varsayalım. $E$ noktası, $V$ noktasının çapa göre zıttıdır. $\mathrm{\angle }EVD$ ve $\mathrm{\angle }EVC$ açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1'deki teorem bunlara uygulanabilir.

Bu nedenle,

$\mathrm{\angle }DVC=\mathrm{\angle }EVC-\mathrm{\angle }EVD$.

o zaman,

${\psi }_0=\mathrm{\angle }DVC,$

${\psi }_1=\mathrm{\angle }EVD,$

${\psi }_2=\mathrm{\angle }EVC,$

olsun, böylece

${\psi }_0={\psi }_2-{\psi }_1.(3)$

$OC$ ve $OD$ doğrularını çizelim. $\mathrm{\angle }EOD$ ve $\mathrm{\angle }EOC$ açıları gibi $\mathrm{\angle }DOC$ açısı da merkezi bir açıdır ve

$\mathrm{\angle }DOC=\mathrm{\angle }EOC-\mathrm{\angle }EOD.$

${\theta }_0=\mathrm{\angle }DOC,$

${\theta }_1=\mathrm{\angle }EOD,$

${\theta }_2=\mathrm{\angle }EOC,$

olsun, böylece

${\theta }_0={\theta }_2-{\theta }_1.(4)$

Birinci bölümden biliyoruz ki ${\theta }_1=2{\psi }_1$${\theta }_1=2{\psi }_1$ ve şu ${\theta }_2=2{\psi }_2$. Bu sonuçların denklem (4) ile birleştirilmesi,

${\theta }_0=2{\psi }_2-2{\psi }_1$

bu nedenle, denklem (3) ile aşağıdaki ifadeye ulaşılır:

${\theta }_0=2{\psi }_0.$

Sonuç

Benzer bir argümana göre, bir kiriş ile onun kesişme noktalarından birinde teğet doğrusu arasındaki açı, kirişin kapsadığı merkezi açının yarısına eşittir. Ayrıca bkz. Çemberlere teğet doğrular.

Uygulamalar

Çevre açı teoremi, düzlemin temel Öklid geometrisinin birçok ispatında kullanılır. Teoremin özel bir durumu, bir çapın kapsadığı açının her zaman $90^{\circ }$, yani bir dik açı olduğunu belirten Thales teoremidir. Teoremin bir sonucu olarak, kirişler dörtgeninin zıt açılarının toplamı $180^{\circ }$'dir ve tersine, bunun doğru olduğu herhangi bir dörtgen bir çember içerisine çizilebilir. Başka bir örnek olarak, çevre açı teoremi, bir çembere göre bir noktanın kuvveti ile ilgili birkaç teorem için temel oluşturur. Dahası, iki kiriş bir çember içinde kesiştiğinde, parçalarının uzunluklarının çarpımlarının eşit olduğunu kanıtlamaya izin verir.

Elipsler, hiperboller ve paraboller için çevre açı teoremleri

Çevre açı teoremleri elipsler, hiperboller ve paraboller için de mevcuttur. Temel farklar, bir açının ölçümleridir. (Bir açı, bir çift kesişen çizgi olarak kabul edilir.)

• Elips
• Hiperbol
• Parabol

Kaynakça

• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı

Dış bağlantılar

• Şablon:MathWorld
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı