Trigonometrik fonksiyonların türevleri

Fonksiyon	Türev
$\sin (x)$	$\cos (x)$
$\cos (x)$	$-\sin (x)$
$\tan (x)$	${\sec }^2(x)$
$\cot (x)$	$-{\csc }^2(x)$
$\sec (x)$	$\sec (x)\tan (x)$
$\csc (x)$	$-\csc (x)\cot (x)$
$\arcsin (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos (x)$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan (x)$	$\frac{1}{x^2+1}$
$\mathrm{arccot}(x)$	$-\frac{1}{x^2+1}$
$\mathrm{arcsec}(x)$	$\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$\mathrm{arccsc}(x)$	$-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Trigonometrik fonksiyonların türevleri, trigonometrik bir fonksiyonun türevini yani bir değişkene göre değişim oranını bulmanın matematiksel sürecidir. Örneğin, sinüs fonksiyonunun türevi $si{n}^{\prime }(a)=cos(a)$ şeklinde yazılır, bu da sin(x) fonksiyonunun belirli bir açı x = a için değişim oranının o açının kosinüsü ile verildiği anlamına gelir.

Dairesel trigonometrik fonksiyonların tüm türevleri, tan(x) = sin(x)/cos(x) gibi fonksiyonlara uygulanan bölme kuralı ile sin(x) ve cos(x) türevlerinden elde edilebilir. Bu türevleri bildiğimizde, ters trigonometrik fonksiyonların türevleri örtük türev alma ile bulunur.

Trigonometrik fonksiyonların türevlerinin kanıtları

θ sıfıra yaklaşırken sin(θ)/θ limiti

Şablon:Center

Sağdaki diyagramda, merkezi O olan ve yarıçapı r = 1 olan bir daire gösterilmektedir. İki yarıçap OA ve OB θ radyanlık bir yay oluşturur. θ'nın 0 < θ < Şablon:Sfrac π aralığında ve birinci çeyrekte olan küçük pozitif bir sayı olduğunu varsayabiliriz.

Diyagramda, R₁ OAB üçgeni, R₂ daire dilimi OAB ve R₃ OAC üçgenidir.

OAB üçgeninin alanı:

$\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}(R_1)=\frac{1}{2}|OA||OB|\sin \theta =\frac{1}{2}\sin \theta .$

OAB daire diliminin alanı:

$\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}(R_2)=\frac{1}{2}\theta .$

OAC üçgeninin alanı:

$\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}(R_3)=\frac{1}{2}|OA||AC|=\frac{1}{2}\tan \theta .$

Her alan, bir sonrakinin içindedir, bu nedenle:

$\text{Alan}(R_1)<\text{Alan}(R_2)<\text{Alan}(R_3)⟹\frac{1}{2}\sin \theta <\frac{1}{2}\theta <\frac{1}{2}\tan \theta .$

Ayrıca, birinci çeyrekte Şablon:Kayma olduğu için, her iki tarafı Şablon:Sfrac Şablon:Kayma ile bölebiliriz:

$1<\frac{\theta }{\sin \theta }<\frac{1}{\cos \theta }⟹1>\frac{\sin \theta }{\theta }>\cos \theta .$

Son adımda, üç pozitif terimin tersini aldığımız için eşitsizlikler tersine döner.

Şablon:Center

Sonuç olarak, 0 < θ < Şablon:Sfrac π için Şablon:Kayma her zaman 1'den küçük ve her zaman cos(θ)'dan büyüktür. Dolayısıyla, θ sıfıra yaklaştıkça Şablon:Kayma 1 yüksekliğindeki bir tavanda ve cos θ yüksekliğindeki bir tabanda "sıkıştırılmıştır" ve bu yükseklik 1'e doğru yükselir; bu nedenle sin(θ)/θ sıfıra yaklaşırken:

$\underset{\theta \to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=1.$

θ küçük bir negatif sayı olduğunda –Şablon:Sfrac π < θ < 0, sinüsün tek fonksiyon olduğunu kullanırız:

$\underset{\theta \to 0^{-}}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=\underset{\theta \to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin (-\theta )}{-\theta }=\underset{\theta \to 0^{+}}{\lim }\frac{-\sin \theta }{-\theta }=\underset{\theta \to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=1.$

θ sıfıra yaklaşırken (cos(θ)-1)/θ limiti

Son bölüm, bu yeni limiti görecek kadar kolay bir şekilde hesaplamamızı sağlar. Bu hesaplamada θ'nın işareti önemsizdir.

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\cos \theta -1}{\theta }=\underset{\theta \to 0}{\lim }\left(\frac{\cos \theta -1}{\theta }\right)\left(\frac{\cos \theta +1}{\cos \theta +1}\right)=\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{{\cos }^2\theta -1}{\theta (\cos \theta +1)}.$

Şablon:Kayma ve bir çarpımın limitinin, limitlerin çarpımına eşit olduğu gerçeğini kullanarak, bir önceki bölümden elde ettiğimiz limiti buluyoruz:

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\cos \theta -1}{\theta }=\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{-{\sin }^2\theta }{\theta (\cos \theta +1)}=(-\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta })\left(\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\cos \theta +1}\right)=(-1)\left(\frac{0}{2}\right)=0.$

tan(θ)/θ Limitinin 0'a Yaklaşması

Sinüs fonksiyonu için limit, tanjant fonksiyonunun tek işlevsel olması ve bir çarpımın limitinin çarpımlarının limitleri olduğunu göz önünde bulundurarak şunu buluruz:

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\tan \theta }{\theta }=\left(\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }\right)\left(\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{1}{\cos \theta }\right)=(1)(1)=1.$

Sinüs Fonksiyonunun Türevi

Limit tanımını kullanarak sinüs fonksiyonunun türevini hesaplayalım:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{\sin (\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }.$

Açı toplam formülünü kullanarak Şablon:Kayma, şunu elde ederiz:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }=\underset{\delta \to 0}{\lim }(\frac{\sin \delta }{\delta }\cos \theta +\frac{\cos \delta -1}{\delta }\sin \theta ).$

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının limitlerini kullanarak:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta .$

Kosinüs Fonksiyonunun Türevi

Türev Tanımından

Kosinüs fonksiyonunun türevini limit tanımından tekrar hesaplayalım:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{\cos (\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }.$

Açı toplam formülünü kullanarak Şablon:Kayma, şunu elde ederiz:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }=\underset{\delta \to 0}{\lim }(\frac{\cos \delta -1}{\delta }\cos \theta -\frac{\sin \delta }{\delta }\sin \theta ).$

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının limitlerini kullanarak:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta .$

Zincir Kuralı ile

Kosinüs fonksiyonunun türevini zincir kuralından hesaplamak için şu üç eşitliği gözlemleyelim:

$\cos \theta =\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )$

$\sin \theta =\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin \theta =\cos \theta$

İlk iki eşitlik bir trigonometrik özdeşliktir, üçüncüsü ise yukarıda kanıtlanmıştır. Bu üç eşitliği kullanarak aşağıdaki gibi yazabiliriz:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )$

Bunu zincir kuralını kullanarak türevini alabiliriz. $f(x)=\sin x,g(\theta )=\frac{\pi }{2}-\theta$ olarak alırsak:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }f\left(g\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\left(g\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\left(\theta \right)=\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )\cdot (0-1)=-\sin \theta$.

Dolayısıyla, şunu kanıtlamış olduk:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =-\sin \theta$.

Tanjant Fonksiyonunun Türevi

Türev Tanımından

Tanjant fonksiyonunun türevini ilk prensiplerden hesaplayalım. Tanıma göre:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\left(\frac{\tan (\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }\right).$

Açı toplam formülünü kullanarak Şablon:Kayma:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\left[\frac{\frac{\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }-\tan \theta }{\delta }\right]=\underset{\delta \to 0}{\lim }\left[\frac{\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +{\tan }^2\theta \tan \delta }{\delta (1-\tan \theta \tan \delta )}\right].$

Bir çarpımın limitinin, limitlerinin çarpımına eşit olduğunu göz önünde bulundurarak:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{\tan \delta }{\delta }\times \underset{\delta \to 0}{\lim }\left(\frac{1+{\tan }^2\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }\right).$

Tanjant fonksiyonu için limitleri kullanarak ve tan δ 'nin 0'a yaklaştığını göz önünde bulundurarak:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =1\times \frac{1+{\tan }^2\theta }{1-0}=1+{\tan }^2\theta .$

Hemen şunu görüyoruz:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =1+\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{1}{{\cos }^2\theta }={\sec }^2\theta .$

Bölme kuralından

Tanjant fonksiyonunun türevini bölme kuralı kullanarak hesaplayabiliriz:

$\frac{d}{d\theta }\tan \theta =\frac{d}{d\theta }\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{{(\sin \theta )}^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot {(\cos \theta )}^{\prime }}{{\cos }^2\theta }=\frac{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }$

Pay Pisagor özdeşliği ile 1 olarak sadeleştirilebilir, bu da bize:

$\frac{1}{{\cos }^2\theta }={\sec }^2\theta$

Sonuç olarak:

$\frac{d}{d\theta }\tan \theta ={\sec }^2\theta$

Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri

Aşağıdaki türevler, türevini almak istediğimiz ters trigonometrik fonksiyon için bir değişken y belirleyerek bulunur. Örtük türevleme kullanarak, ardından dy/dx için çözümleyerek, ters fonksiyonun türevini y cinsinden buluruz. dy/dx'yi tekrar x cinsine çevirmek için, bir referans üçgeni çizebiliriz. Bunun için birim çember üzerinde θ'yi y olarak alırız. Pisagor teoremi ve normal trigonometrik fonksiyonların tanımı kullanılarak, nihayetinde dy/dx'yi x cinsinden ifade edebiliriz.

Ters Sinüs Fonksiyonunun Türevini Alma

Şunu alıyoruz:

$y=\arcsin x$

Burada:

$-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$

O halde:

$\sin y=x$

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

$\frac{d}{dx}\sin y=\frac{d}{dx}x$

$\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1$

Yukarıdan $\cos y=\sqrt{1-{\sin }^{2}y}$ değerini yerine koyarak,

$\sqrt{1-{\sin }^{2}y}\cdot \frac{dy}{dx}=1$

Yukarıdan $x=\sin y$ değerini yerine koyarak,

$\sqrt{1-x^2}\cdot \frac{dy}{dx}=1$

Sonuç olarak:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Ters Kosinüs Fonksiyonunun Türevini Alma

Şunu alıyoruz:

$y=\arccos x$

Burada:

$0\le y\le \pi$

O halde:

$\cos y=x$

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

$\frac{d}{dx}\cos y=\frac{d}{dx}x$

$-\sin y\cdot \frac{dy}{dx}=1$

Yukarıdan $\sin y=\sqrt{1-{\cos }^{2}y}$ değerini yerine koyarak,

$-\sqrt{1-{\cos }^{2}y}\cdot \frac{dy}{dx}=1$

Yukarıdan $x=\cos y$ değerini yerine koyarak,

$-\sqrt{1-x^2}\cdot \frac{dy}{dx}=1$

Sonuç olarak:

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Alternatif olarak, $\arcsin x$ türevini belirledikten sonra, $\arccos x$ türevi, $\arcsin x+\arccos x=\pi /2$ özdeşliğini türevleyerek $(\arccos x{)}^{\prime }=-(\arcsin x{)}^{\prime }$ elde edilerek hemen takip edilir.

Ters Tanjant Fonksiyonunun Türevini Alma

Şunu alıyoruz:

$y=\arctan x$

Burada:

$-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$

O halde:

$\tan y=x$

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

$\frac{d}{dx}\tan y=\frac{d}{dx}x$

Sol taraf:

$\frac{d}{dx}\tan y={\sec }^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}=(1+{\tan }^{2}y)\frac{dy}{dx}$ Pisagor özdeşliğini kullanarak.

Sağ taraf:

$\frac{d}{dx}x=1$

Sonuç olarak:

$(1+{\tan }^{2}y)\frac{dy}{dx}=1$

Yukarıdan $x=\tan y$ değerini yerine koyarak,

$(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1$

Sonuç olarak:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$

Ters Kotanjant Fonksiyonunun Türevini Alma

Şunu alıyoruz:

$y=\mathrm{arccot}x$

Burada:

$0<y<\pi$. O halde:

$\cot y=x$

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

$\frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x$

Sol taraf:

$\frac{d}{dx}\cot y=-{\csc }^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}=-(1+{\cot }^{2}y)\frac{dy}{dx}$ Pisagor özdeşliğini kullanarak.

Sağ taraf:

$\frac{d}{dx}x=1$

Sonuç olarak:

$-(1+{\cot }^{2}y)\frac{dy}{dx}=1$

Yukarıdan $x=\cot y$ değerini yerine koyarak,

$-(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1$

Sonuç olarak:

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}$

Alternatif olarak, $\arctan x$ türevi yukarıda açıklandığı gibi elde edilirse, $\arctan x+\mathrm{arccot}x=\frac{\pi }{2}$ özdeşliğinden, hemen şu sonuç elde edilir: $$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\mathrm{arccot}x& =\frac{d}{dx}(\frac{\pi }{2}-\arctan x)\\ & =-\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$

Ters Sekant Fonksiyonunun Türevini Alma

Örtük Türevleme Kullanarak

Şunu alıyoruz:

$y=\mathrm{arcsec}x\mid |x|\ge 1$

O halde:

$x=\sec y\mid y\in [0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi ]$

$\frac{dx}{dy}=\sec y\tan y=|x|\sqrt{x^2-1}$

(İfadedeki mutlak değer gereklidir çünkü sekant ve tanjant çarpımı y aralığında her zaman pozitifken, kök $\sqrt{x^2-1}$ her zaman pozitif olarak tanımlandığı için, kalan çarpanın da pozitif olması gerektiğinden, bu mutlak değer kullanılır.)

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Zincir Kuralını Kullanarak

Alternatif olarak, ters sekantın türevi, ters kosinüsün türevinden zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir.

Şunu alıyoruz:

$y=\mathrm{arcsec}x=\arccos \left(\frac{1}{x}\right)$

Burada

$|x|\ge 1$ ve $y\in [0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi ]$

O halde, $\arccos \left(\frac{1}{x}\right)$ için zincir kuralını uygulayarak:

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x}{)}^2}}\cdot (-\frac{1}{x^2})=\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Ters Kosekant Fonksiyonunun Türevini Alma

Örtük Türevleme Kullanarak

Şunu alıyoruz:

$y=\mathrm{arccsc}x\mid |x|\ge 1$

O halde

$x=\csc y\mid y\in [-\frac{\pi }{2},0)\cup (0,\frac{\pi }{2}]$

$\frac{dx}{dy}=-\csc y\cot y=-|x|\sqrt{x^2-1}$

(İfadedeki mutlak değer gereklidir çünkü kosekant ve kotanjant çarpımı y aralığında her zaman pozitifken, kök $\sqrt{x^2-1}$ her zaman pozitif olarak tanımlandığı için, kalan çarpanın da pozitif olması gerektiğinden, bu mutlak değer kullanılır.)

$\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Zincir Kuralını Kullanarak

Alternatif olarak, ters kosekantın türevi, ters sinüsün türevinden zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir.

Şunu alıyoruz:

$y=\mathrm{arccsc}x=\arcsin \left(\frac{1}{x}\right)$

Burada

$|x|\ge 1$ ve $y\in [-\frac{\pi }{2},0)\cup (0,\frac{\pi }{2}]$

O halde, $\arcsin \left(\frac{1}{x}\right)$ için zincir kuralını uygulayarak:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x}{)}^2}}\cdot (-\frac{1}{x^2})=-\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=-\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}=-\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Ayrıca bakınız

• Kalkülüs
• Türev
• Türev alma kuralları
• Trigonometrik özdeşlikler listesi
• Trigonometri

Bibliyografya

• Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı, Editörler: Abramowitz ve Stegun, Ulusal Standartlar Bürosu, Uygulamalı Matematik Serisi, 55 (1964)