Türev alma kuralları

Şablon:Hesap Türev, matematikteki ve özellikle diferansiyeldeki temel kavramlardan biridir. Aşağıda temel türev alma kuralları ve bazı fonksiyonların türev kuralları yer almaktadır.

Temel türev alma kuralları

Sabit fonksiyonun türevi

Herhangi bir $c\in ℝ$ için, eğer $f(x)=c$ ise, o zaman $\frac{df}{dx}=0$ olur.

Kanıt

$c\in ℝ$ olsun. O zaman, türevin tanımından yola çıkarak

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(c)-(c)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }0\\ & =0\end{array}$

elde edilir.

Türev almanın doğrusallığı

Şablon:Ana $f$ ve $g$ iki fonksiyon, $a$ ve $b$ iki gerçel sayı olsun. O zaman, $h(x)=af(x)+bg(x)$ fonksiyonunun $x$'e göre türevi

$h^{\prime }(x)=a{f}^{\prime }(x)+b{g}^{\prime }(x).$

Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır: $$\frac{d(af+bg)}{dx}=a\frac{df}{dx}+b\frac{dg}{dx}.$$ Türevin doğrusallığı şu özel halleri de verir:

• Sabitle çarpım kuralı

$\left(cf\right)=c{f}^{\prime }$

• Toplama kuralı

$$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$$

• Çıkarma kuralı

$$(f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }.$$

Çarpımın türevi

Şablon:Ana $f$ ve $g$ iki fonksiyon olsun. O zaman, $h(x)=f(x)g(x)$ fonksiyonunun $x$'e göre türevi

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

şeklinde olmalıdır. Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır: $$\frac{d(fg)}{dx}=g\frac{df}{dx}+f\frac{dg}{dx}.$$

Zincir kuralı

Şablon:Ana $h(x)=f(g(x))$ fonksiyonunun türevi şu şekilde verilir: $$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$$ Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır: $$\frac{d}{dx}h(x)={\frac{d}{dz}f(z)|}_{z=g(x)}\cdot \frac{d}{dx}g(x),$$ ve genelde şu şekilde kısaltılır: $$\frac{dh(x)}{dx}=\frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot \frac{dg(x)}{dx}.$$

Ters fonksiyon kuralı

Şablon:Main Eğer Şablon:Mvar fonksiyonunun ters fonksiyonu Şablon:Mvar ise; yani, $g(f(x))=x$ ve $f(g(y))=y$ ise $$g^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ g}.$$ Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır: $$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}.$$

Kuvvet yasası, polinomlar, bölme ve çarpmaya göre ters

Polinom ve basit kuvvet kuralı

Şablon:Main $f(x)=x^r$ ise her $r\ne 0,$ için

$f^{\prime }(x)=r{x}^{r-1}.$

Eğer $r=1$ ise o zaman $f(x)=x$'tir ve $f^{\prime }(x)=1$ olur. Kuvvet kuralını toplama ve sabit terimle çarpma kuralı ile birleştirerek polinomların türevi hesaplanabilir.

Çarpmaya göre tersin türevi

Şablon:Main Eğer bir fonksiyon, başka bir fonksiyonun çarpmaya göre tersi ise; yani, $h(x)=\frac{1}{f(x)}$ ile tanımlanmışşsa ve Şablon:Mvar sıfır değeri almıyorsa

$h^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{(f(x){)}^2}$ (Şablon:Mvar nin 0 olmadığı her yerde)

olur. Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:

$\frac{d(1/f)}{dx}=-\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}.$

Çarpmaya göre tersin türevi böle kuralından ya da kuvvet luralı ve zincir kuralının peşpeşe kullanılmasında elde edilebilir.

Bölmenin türevi

Şablon:Ana Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar iki fonksiyon olsun. O zaman, Şablon:Mvar nin 0 olmadığı her yerde

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-g^{\prime }f}{g^2}$

olur. Bu kural, çarpma kuralı ve çarpmaya göre tersin türevi beraber kullanılarak gösterilebilir.

Genel kuvvet kuralı

Şablon:Main Kuvvet kuralı daha genel hale de uygulanabilir. Eğer $f(x)=x^a$ ise, o zaman Şablon:Mvar 0 olmadığı ve Şablon:Mvar pozitif olduğu müddetçe,

$f^{\prime }(x)=a{x}^{a-1}$

olur. Bunun daha genel hali için Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar iki fonksiyon olsun. O zaman,

$(f^g{)}^{\prime }=\left(e^{g\ln f}\right)=f^g(f^{\prime }\frac{g}{f}+g^{\prime }\ln f),$

Bu halde, çarpmaya göre tersin türevi $g(x)=-1$ alınarak bulunabilir.

Üstel ve logaritma fonksiyonlarının türevleri

$d/dx$, fonksiyonun $x$'e göre türevinin alındığını gösterir.

$\frac{d}{dx}{c}^x=c^x\ln c,c>0$

Eğer $c<0$ olursa, o zaman karmaşık sayılar göz önüne alınmalıdır.

$\frac{d}{dx}{e}^{ax}=a{e}^{ax}$

$\frac{d}{dx}{\log }_{c}x=\frac{1}{x\ln c},c>0,c\ne 1$

Eğer $c<0$ olursa, o zaman karmaşık sayılar göz önüne alınmalıdır.

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}x>0$

$\frac{d}{dx}\ln |x|=\frac{1}{x}x\ne 0$

$\frac{d}{dx}{x}^x=x^x(1+\ln x)$

$\frac{d}{dx}(f(x{)}^{g(x)})=g(x)f(x{)}^{g(x)-1}\frac{df}{dx}+f(x{)}^{g(x)}\ln (f(x))\frac{dg}{dx},\text{ eğer }f(x)>0\text{ ise ve}\frac{df}{dx}\text{ ve }\frac{dg}{dx}\text{ varsa.}$

$\frac{d}{dx}(f_1(x{)}^{f_2(x{)}^{{(...)}^{f_n(x)}}})=\left[\sum _{k=1}^n\frac{\partial }{\partial x_k}(f_1(x_1{)}^{f_2(x_2{)}^{{(...)}^{f_n(x_n)}}})\right]{|}_{x_1=x_2=...=x_n=x},\text{ eğer }{f}_{i<n}(x)>0\text{ ve }$ $\frac{d{f}_i}{dx}\text{ varsa. }$

Logaritmik türevler

Şablon:Main Logaritmik türev bir fonksiyonun logaritmasının türevini ifade etmenin bir başka yoludur

$(\ln f{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f}$ (Şablon:Mvar pozitif olduğu müddetçe).

Logaritma ile türev alma

Logaritma ile türev alma özellikle karmaşık fonksiyonlar için kullanılır. Logaritma ile türev alınırken ilk önce fonksiyon yazılır ve fonksiyonun doğal logaritması alınır. Sonra da iki tarafında türevi alınır. Son olarak da fonksiyonun türevi izole edilir. Örnek olarak:

$\begin{array}{cc}h(x)& =f(x)g(x)\\ \ln (h(x))& =\ln (f(x)g(x))\\ \ln (h(x))& =\ln (f(x))+\ln (g(x))\\ \frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}& =\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}+\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}\\ h^{\prime }(x)& =f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)\\ \end{array}$

Ve türevin çarpma kuralının özel bir durumunda, yani $f(x)>0$ ve $g(x)>0$ iken elde edilir.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri

Şablon:Main Trigonometrik fonksiyonların türevi, temel prensipler kullanılarak, yani eğrinin eğimini veren cebirsel bir ifade bulunarak elde edilir:

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$	$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$	$\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\tan x={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$	$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$
$\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$\frac{d}{dx}\cot x=-{\csc }^{2}x=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-1-{\cot }^{2}x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}$

Yukarıdaki ters fonksiyonların bazıları için tanımları gereği şart koymak gerektir. Burada, ters sekant fonksiyonun görüntü kümesi $[0,\pi ]$ ve ters kosekant fonksiyonunun görüntü kümesi $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ olarak değerlendirilmiştir. Ayrıca, ters tanjant fonksiyonu da bazen $\arctan (y,x)$ olarak gösterilebilir. Görüntü kümesi $[-\pi ,\pi ]$ ve $(x,y)$ hangi kuadrantta yer aldığını yansıtır. Birinci ve dördüncü kuadrantta (yani $x>0$ iken) $\arctan (y,x>0)=\arctan (y/x)$ olur. O zaman kısmi türevler

$\frac{\partial \arctan (y,x)}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}\text{ve}\frac{\partial \arctan (y,x)}{\partial x}=\frac{-y}{x^2+y^2}$

halinde hesaplanır.

Hiperbolik fonksiyonların türevleri

$\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arsinh}x=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
$\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arcosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$\frac{d}{dx}\tanh x={\mathrm{sech}}^{2}x=1-{\tanh }^{2}x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{artanh}x=\frac{1}{1-x^2}$
$\frac{d}{dx}\mathrm{csch}x=-\mathrm{csch}x\coth x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$
$\frac{d}{dx}\mathrm{sech}x=-\mathrm{sech}x\tanh x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\coth x=-{\mathrm{csch}}^{2}x=1-{\coth }^{2}x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arcoth}x=\frac{1}{1-x^2}$

BU türevlerin üzerindeki sınırlandırmaları görmek için Hiperbolik fonksiyonlar'a bakınız.

Özel fonksiyonlarin türevleri

Gama fonksiyonu

$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}\ln tdt\\ & =\mathrm{\Gamma }(x)(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\ln (1+\frac{1}{n})-\frac{1}{x+n})-\frac{1}{x})\\ & =\mathrm{\Gamma }(x)\psi (x)\end{array}$ Şablon:Pb Burada, $\psi (x)$ digama fonksiyonudur.

Riemann zeta fonksiyonu

$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^x}$

$\begin{array}{cc}{\zeta }^{\prime }(x)& =-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln n}{n^x}=-\frac{\ln 2}{2^x}-\frac{\ln 3}{3^x}-\frac{\ln 4}{4^x}-\cdots \\ & =-\sum _{p\text{ asal}}\frac{p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x}{)}^2}\prod _{q\text{ asal},q\ne p}\frac{1}{1-q^{-x}}\end{array}$

İntegralin türevi

Şablon:Ana Diyelim ki

$F(x)=\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt$

biçiminde verilen bir fonksiyonun xe göre türevini almak istiyoruz. Diyelim ki şu koşullar sağlanıyor:

• $(t,x)$ düzleminin $a(x)\le t\le b(x),$ $x_0\le x\le x_1$ koşullarını da sağlayacak belli bir bölgesinde $f(x,t)$ ve $\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)$ fonksiyonları hem $t$ hem de $x$ değişkeninde sürekliler
• $a(x)$ ve $b(x)$ fonksiyonlarının $x_0\le x\le x_1$ için hem kendileri hem de türevleri sürekli.

O zaman, $x_0\le x\le x_1$ için

$F^{\prime }(x)=f(x,b(x))b^{\prime }(x)-f(x,a(x))a^{\prime }(x)+\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt.$

Bu formüle Leibniz integral kuralı denir ve Kalkülüsün temel teoremi ile çıkarılabilir.

n' inci mertebeden türev

Eğer Şablon:Mvar pozitif tam sayı ise fonksiyonların Şablon:Mvarinci türevini hesaplamak için bazı kurallar da vardır.

Faà di Bruno's formülü

Şablon:Main Eğer Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar, Şablon:Mvar kere türevlenebilir fonksiyon olsun. O zaman, $$\frac{d^n}{d{x}^n}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_m\}}{f}^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^n\frac{1}{k_m!}{(g^{(m)}(x))}^{k_m}.$$ Burada, $r={\sum }_{m=1}^{n-1}{k}_m$ ve $\{k_m\}$ kümesi ise Diyofant denklemi ${\sum }_{m=1}^{n}m{k}_m=n$ nin negatif olmayan bütün çözümlerinden oluşmaktadır.

Genel Leibniz Kuralı

Şablon:Main Eğer Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar, Şablon:Mvar kere türevlenebilir fonksiyon olsun. O zaman, $$\frac{d^n}{d{x}^n}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{d^{n-k}}{d{x}^{n-k}}f(x)\frac{d^k}{d{x}^k}g(x).$$