Hanner eşitsizlikleri

Matematiğin bir alt dalı olan analizde, özellikle fonksiyonel analizde, Hanner eşitsizlikleri p ∈ (1, +∞) için L^p uzaylarının düzgün dışbükeyliğini kanıtlamada kullanılan eşitsizliklerdir. Bu eşitsizliklerle daha önce James Clarkson tarafından 1936 yılında kanıtlanan kanıtlar daha kolay hâle gelmiştir. Eşitsizlikler Olof Hanner'in adını taşımaktadır.

Eşitsizliklerin ifadesi

E bir ölçü uzayı ve f, g ∈ L^p(E) olsun. Eğer p ∈ [1, 2] ise, o zaman

$\Vert f+g{\Vert }_p^p+\Vert f-g{\Vert }_p^p\ge (\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p{)}^p+|\Vert f{\Vert }_p-\Vert g{\Vert }_p{|}^p.$

olur.

F = f + g ve G = f − g alınarak Hanner eşitsizliklerinin ikincisi elde edilir:

$2^p(\Vert F{\Vert }_p^p+\Vert G{\Vert }_p^p)\ge (\Vert F+G{\Vert }_p+\Vert F-G{\Vert }_p{)}^p+|\Vert F+G{\Vert }_p-\Vert F-G{\Vert }_p{|}^p.$

p ∈ [2, +∞) için, eşitsizlikler tersine döner ama kesin eşitsizlik yoktur (küçük eşittir işareti korunur). $p=2$ için, eşitsizlikler eşitlik hâlini alır ki her ikisi bu durumda paralelkenar yasası olur.

Ayrıca bakınız

• Clarkson eşitsizlikleri