Düzgün dışbükey uzay

Matematikte düzgün dışbükey uzay yansımalı Banach uzaylarının en yaygın örneklerindendir. Kavram, James A. Clarkson tarafından 1936 yılında tanımlanmıştır.

Tanım

Bir düzgün dışbükey uzay, her $0<\epsilon \le 2$ için

$\Vert x\Vert =1,\Vert y\Vert =1,\Vert x-y\Vert \ge \epsilon ⟹\Vert \frac{x+y}{2}\Vert \le 1-\delta$

ifadesinin doğru olmasını sağlayan bir $\delta >0$ sayısının varolduğu normlu bir uzaydır. Sezgisel bir bakışla, bu tür uzaylarda, birim yuvardaki her doğru parçasının orta noktası, doğru parçası kısa olmadığı sürece birim yuvarın oldukça içerisinde yer almaktadır.

Özellikleri

• Tanımdaki birim küre şartı kapalı birim yuvar ile değiştirilebilir. O zaman, düzgün dışbükey uzay tanımı, her $0<\epsilon \le 2$ için

$\Vert x\Vert \le 1,\Vert y\Vert \le 1,\Vert x-y\Vert \ge \epsilon ⟹\Vert \frac{x+y}{2}\Vert \le 1-\delta$

ifadesinin doğru olmasını sağlayan bir $\delta >0$ sayısının varolduğu normlu bir uzay olarak yapılır.

• Milman-Pettis teoremi her düzgün dışbükey Banach uzayının yansımalı olduğunu ifade eder; ancak, bunun tersi yönde ifade doğru değildir.
• Her düzgün dışbükey Banach uzayı bir Radon-Riesz uzayıdır. Diğer deyişle, düzgün dışbükey bir Banach uzayındaki bir $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ dizisi bir $f$ elemanına zayıf yakınsıyorsa ve $\Vert f_n\Vert \to \Vert f\Vert$ norm yakınsaklığı da sağlanıyorsa, o zaman $f_n$ dizisi $f$'ye güçlü yakınsar; yani, $\Vert f_n-f\Vert \to 0$ olur.
• Bir Banach uzayının düzgün duşbükey olması ancak ve ancak bu uzayın eşiz uzayı olan $X^{*}$'ın düzgün pürüzsüz uzay olmasıyla mümkündür.
• Her düzgün dışbükey uzay aynı zamanda kesin dışbükeydir. Sezgisel olarak, kesin dışbükeylik üçgen eşitsizliğinin doğrusal bağımsız olan elemanlar için güçlü bir şekilde sağlanması anlamına gelmektedir; diğer deyişle, $x,y$ doğrusal bağımsız olan elemanlarsa, $\Vert x+y\Vert <\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ sağlanmaktadır. Düzgün dışbükeylikte ise bu özellik doğrusal bağımsızlık koşuluna yer bırakmadan düzgün bir şekilde istenmektedir.

Örnekler

• Her iç çarpım uzayı düzgün dışbükeydir.
• Düzgün dışbükey Banach uzaylarının kapalı altuzayları yine düzgün dışbükeydir.
• Clarkson eşitsizlikleri sayesinde, $1<p<\mathrm{\infty }$ olmak üzere, L^p uzayları düzgün dışbükeydir. Ancak, $L^{\mathrm{\infty }}$ düzgün dışbükey uzay değildir.

Ayrıca bakınız

• Dışbükeylik modülü
• Düzgün dışbükey fonksiyon
• Düzgün pürüzsüz uzay

Genel kaynaklar

• Şablon:Dergi kaynağı.
• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Dergi kaynağı
• Lindenstrauss, Joram and Benyamini, Yoav. Geometric nonlinear functional analysis. Colloquium publications, 48. American Mathematical Society.