Çifte doğrusallık

Şablon:Kaynaksız Şablon:Düzenle Çifte doğrusallık, matematik'te, çiftdoğrusal işlemci her bir bağımsız dogrusal değişkenlerin üçüncü bir vektör uzayının bir öğesini elde etmek için iki vektör uzayı öğelerini birleştiren bir fonksiyonudur. Matris çarpimi bir örnektir.

Tanım

Eğer V, W ve X aynı tabanlı F alanı üzerinde üç vektör uzayı'ise bu çifte doğrusal gönderim bir fonksiyon ve

B : V × W → X ise

herhangi W gönderim içindeki w için

v ↦ B(v, w)

bir doğrusal gönderim V den X 'adır ve herhangi V içindeki v için gönderim

w ↦ B(v, w)

bir doğrusal gönderim W dan X 'adır. Başka bir deyişle, biz sabit çifte doğrusal haritasının ilk girişi sabit tutar, ikinci girişin değişmesine izin verirsek, sonuç bir doğrusal işlemcidir ve benzer şekilde eğer iki giriş sabit tutulursa ve eğer biz Şablon:Kayma çarpımını bir vektör uzayı olarak kabul edersek, B (Şablon:Kayma olmadıkça veya Şablon:Kayma) vektör uzayının bir doğrusal dönüşüm değildir çünkü, örnek için Şablon:Kayma.

Eğer Şablon:Kayma ve bizim Şablon:Kayma var bütün v için,V içindeki w ise B ye simetrik'tir deriz.

Bu durumda X, Fdir ve bizde bir çiftdoğrusal form var, özellikle yararlıdır (örnek için skaler çarpım, iç çarpım ve karesel form).

eğer bir F alanı üzerinde vektör uzayının yerine tanımında herhangi bir değişikliğe gerek olmadan çalışırsa, biz değişmeli halka R üzerinde modül kullanıyoruz. Ayrıca n-li fonksiyonlar kolayca genellenebilir, burada uygun terim çokludoğrusaldır.

bir değişmeli olmayan R halka tabanının durumu için ve bir sağ modül M_R ve bir sol modül _RN, biz bir çiftdoğrusal gönderim tanımlarız Şablon:Kayma, burada T bir değişmeli grup'tur, ayrıca herhangi in N içindeki n için, Şablon:Kayma bir grup homomorfizmidir ve herhangi M içindeki m için, Şablon:Kayma bir grup homomorfizmidir ve

B(mt, n) = B(m, tn)

bütün M içindeki m N içindeki n ve R içindeki t için yeterlidir

Özellikler

Tanımının Bir ilk acil sonucu bu Şablon:Kayma her ne zaman Şablon:Kayma olduğunda veya Şablon:Kayma. (Bu yazılarak görülür sıfır vektör 0 olarak 0·0,doğrusallık ile B nin önyüzünde ve skaler 0 "dışına" taşınıyor.)

Bütün çiftdoğrusal haritaların L(V,W;X) kümesi uzayın (viz. vektör uzayı, modül) bir doğrusal altuzayı'dır.

Bir matris M bir gerçek çiftdoğrusal formun içindeki nedensel bir doğrusal harita Şablon:Kayma ise ikilik ve müzikal eşbiçim'in ilişkililik'i kullanılarak diğer üç olasılık giderilir.

${\displaystyle }$

$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& V\times V\stackrel{M}{⟶}ℝ\\ & (v,w)\mapsto v^{\prime }Mw\\ & M_{ij}=M(b_i,b_j)\\ & M\in V^{*}\otimes V^{*}\\ & M=M_{st}{\beta }^s\otimes {\beta }^t\\ \\ \end{array}& \begin{array}{cc}& V\times V^{*}\stackrel{M}{⟶}ℝ\\ & (v,f)\mapsto v^{\prime }M{f}^{\prime }\\ & M_i^j=M(b_i,{\beta }^j)\\ & M\in V^{*}\otimes V\\ & M=M_s^t{\beta }^s\otimes b_t\\ & M_s^t=M_{su}{g}^{ut}\\ & M{G}^{-1}\end{array}\\ \begin{array}{cc}& V^{*}\times V\stackrel{M}{⟶}ℝ\\ & (f,w)\mapsto fMw\\ & M_j^i=M({\beta }^i,b_j)\\ & M\in V\otimes V^{*}\\ & M=M_t^s{b}_s\otimes {\beta }^t\\ & M_t^s=g^{su}{M}_{ut}\\ & G^{-1}M\end{array}& \begin{array}{cc}& V^{*}\times V^{*}\stackrel{M}{⟶}ℝ\\ & (f,g)\mapsto fM{g}^{\prime }\\ & M^{ij}=M({\beta }^i,{\beta }^j)\\ & M\in V\otimes V\\ & M=M^{st}{b}_s\otimes b_t\\ & M^{st}=g^{su}{M}_{uv}{g}^{vt}\\ & G^{-1}M{G}^{-1}\end{array}\end{array}$

Eğer V, W, X sonlu-boyutlu ise L(V,W;X) böyledir. Şablon:Kayma için, yani çiftdoğrusal formudur, Bu boşluğun boyutu Şablon:Kayma dir (eğer doğrusal L(V×W;F) formunun Şablon:Kayma). Bunu görmek için, Viçin bir taban seçebilirsiniz ve W; ise her çiftdoğrusal harita B(e_i,f_j) matrisi tarafından tekli gösterilebilir ya da tam tersi. şimdi, eğer X yüksek boyutlu bir uzaydır, tabii ki bizim Şablon:Kayma var.

Örnekler

• Matris çarpımı bir lineer haritadır Şablon:Kayma.
• Eğer gerçel sayı'lar R üzerinde bir vektör uzayı V bir iç-çarpım taşıyor ise iç-çarpım bir çiftdoğrusal Şablon:Kayma haritadır.
• Genel olarak, bir vektör uzayı V üzerinde bir F alanı için, bir çiftdoğrusal form olarak V aynı bir çiftdoğrusal olarakŞablon:Kayma.
• Eğer V bir vektör uzayı ile ikili uzay V* ise uygulama operatörü, Şablon:Kayma çiftdoğrusal harita Şablon:Kayma'dan alan tabanınadır.
• Diyelimki V ve W vektör uzayı üzerinde aynı alanın tabanı F dir. eğer f V* nin bir üyesi ve g W* nin bir üyesi ise Şablon:Kayma bir lineer harita Şablon:Kayma tanımlanır.
• R³ içinde çapraz çarpım bir çiftdoğrusaldır Şablon:Kayma'dır.
• Diyelimki Şablon:Kayma bir çiftdoğrusal haritadır ve Şablon:Kayma bir doğrusal haritadır, eğer öyleyse Şablon:Kayma is bir çiftdoğrusal harita olarak Şablon:Kayma olur.
• sıfır harita,Şablon:Kayma ile tanımlanır bütün (v,w) için Şablon:Kayma içinde yalnızca Şablon:Kayma haritasından X 'adır bu çiftdoğrusaldır ve aynı zamanda doğrusaldır, gerçekten, eğerŞablon:Kayma ise eğer B doğrusaldır, Şablon:Kayma eğer B çiftdoğrusaldır.

Ayrıca bakınız

• Çokludoğrusal harita

Dış bağlantılar

• Şablon:Springer