Çok değişkenli Gama fonksiyonu

Matematik'te, çok değişkenli Gama fonksiyonu, Γ_p(·), Gama fonksiyonu'nun genelleştirilmiş şeklidir. Çokdeğişkenli istatistik'te kullanılır.

İki eşdeğer tanımı vardır.Birincisi,

${\mathrm{\Gamma }}_p(a)=\underset{S>0}{\int }\exp (-\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(S)){\left|S\right|}^{a-(p+1)/2}dS$

burada S, S>0 pozitif-tanım için anlamlıdır. öteki, pratikte daha çok, kullanılır.

${\mathrm{\Gamma }}_p(a)={\pi }^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^p\mathrm{\Gamma }[a+(1-j)/2].$

Böylece

• ${\mathrm{\Gamma }}_1(a)=\mathrm{\Gamma }(a)$
• ${\mathrm{\Gamma }}_2(a)={\pi }^{1/2}\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(a-1/2)$
• ${\mathrm{\Gamma }}_3(a)={\pi }^{3/2}\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(a-1/2)\mathrm{\Gamma }(a-1)$

Türevler

Biz önce çok değişkenli digama fonksiyonunu tanımlıyoruz.

${\psi }_p(a)=\frac{\partial \log {\mathrm{\Gamma }}_p(a)}{\partial a}=\sum _{i=1}^p\psi (a+(1-i)/2),$

ve sonra genel poligama fonksiyonu :

${\psi }_p^{(n)}(a)=\frac{{\partial }^n\log {\mathrm{\Gamma }}_p(a)}{\partial a^n}=\sum _{i=1}^p{\psi }^{(n)}(a+(1-i)/2).$

Hesaplama adımları

${\mathrm{\Gamma }}_p(a)={\pi }^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^p\mathrm{\Gamma }(a+\frac{1-j}{2}),$

ile aşağıda

$\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_p(a)}{\partial a}={\pi }^{p(p-1)/4}\sum _{i=1}^p\frac{\partial \mathrm{\Gamma }(a+\frac{1-i}{2})}{\partial a}\prod _{j=1,j\ne i}^p\mathrm{\Gamma }(a+\frac{1-j}{2}).$

• digama fonksiyonu yardımıyla tanım, ψ,

$\frac{\partial \mathrm{\Gamma }(a+(1-i)/2)}{\partial a}=\psi (a+(i-1)/2)\mathrm{\Gamma }(a+(i-1)/2)$

aşağıdadır

$\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_p(a)}{\partial a}={\pi }^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^p\mathrm{\Gamma }(a+(1-j)/2)\sum _{i=1}^p\psi (a+(1-i)/2)={\mathrm{\Gamma }}_p(a)\sum _{i=1}^p\psi (a+(1-i)/2).$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynakça

• Şablon:Dergi kaynağı