Agmon eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde Agmon eşitsizliği Lebesgue uzayı $L^{\mathrm{\infty }}$ ile Sobolev uzayı $H^s$ arasındaki iki ayrı aradeğerleme eşitsizliklerine verilen bir addır. Bu eşitsizlik, kısmi diferansiyel denklemlerde oldukça faydalıdır ve İsrailli matematikçi Shmuel Agmon'un adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

$k\ge 2$ olmak üzere $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^k$ açık bir küme ve $u\in H^2(\mathrm{\Omega })\cap H_0^1(\mathrm{\Omega })$ olsun.

• $k=2$ iken

$\Vert u{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}\le C\Vert u{\Vert }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^{1/2}\Vert u{\Vert }_{H^2(\mathrm{\Omega })}^{1/2}$

eşitsizliğini sağlayan bir $C$ sabiti vardır.

• $k=3$ iken

$\Vert u{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}\le C\Vert u{\Vert }_{H^1(\mathrm{\Omega })}^{1/2}\Vert u{\Vert }_{H^2(\mathrm{\Omega })}^{1/2},$

ve

$\Vert u{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}\le C\Vert u{\Vert }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^{1/4}\Vert u{\Vert }_{H^2(\mathrm{\Omega })}^{3/4}.$

eşitsizliklerini sağlayan bir $C$ sabiti vardır.

• $k\ge 4$ iken, $s_1$ ve $s_2$ $s_1<\frac{n}{2}<s_2$ eşitsizliğini sağlayacak şekilde seçilmiş olsun ve $\frac{n}{2}=\theta s_1+(1-\theta )s_2$ eşitliğini sağlamak üzere bir $\theta \in [0,1]$ sayısı alınsın. O halde,

$\Vert u{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}\le C\Vert u{\Vert }_{H^{s_1}(\mathrm{\Omega })}^{\theta }\Vert u{\Vert }_{H^{s_2}(\mathrm{\Omega })}^{1-\theta }$

eşitsizliğini sağlayan bir $C$ sabiti vardır.

Ayrıca bakınız

• Ladıjenskaya eşitsizliği
• Brezis-Gallouet eşitsizliği