Ladıjenskaya eşitsizliği

Matematikte, özellikle analiz ve kısmi diferansiyel denklemlerde, Ladıjenskaya eşitsizliği ya da Ladıjenskaya eşitsizlikleri, Sovyet matematikçi Olga Aleksandrovna Ladıjenskaya tarafından 1958'de yeteri kadar düzgün bir başlangıç verisine sahip iki değişkenli Navier-Stokes denklemlerinin uzun-zamanlı çözümlerinin varlığı ve biricikliğini kanıtlarken bulunan eşitsizliklerdir. Bugün aradeğerleme eşitsizlikleri adı verilen bir eşitsizlikler sınıfına ait olan bu eşitsizliklerin üç değişkenli halinde üsler biraz değişime uğrar.

Eşitsizliklerin ifadesi

$n=2$ veya $3$ iken $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ bir Lipschitz bölgesi olsun. $u:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ ise zayıf türevlenebilir ve $\mathrm{\Omega }$'nın sınırında iz anlamında sıfırlaşan bir fonksiyon olsun. Diğer deyişle, $u$ fonksiyonu $H^1(\mathrm{\Omega })$ Sobolev uzayında yer alan ve $\mathrm{\Omega }$da tıkız destekli olan bir düzgün fonksiyonlar dizisinin bu uzay içindeki limiti olsun. O zaman,

• $n=2$ iken

$\Vert u{\Vert }_{L^4}\le C\Vert u{\Vert }_{L^2}^{1/2}\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^2}^{1/2}$

eşitsizliğini sağlayan ve yalnızca $\mathrm{\Omega }$ya bağlı bir $C$ sabiti vardır.

• $n=3$ iken

$\Vert u{\Vert }_{L^4}\le C\Vert u{\Vert }_{L^2}^{1/4}\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^2}^{3/4}$

eşitsizliğini sağlayan ve yalnızca $\mathrm{\Omega }$ya bağlı bir $C$ sabiti vardır.

Genelleştirmeler

Ladıjenskaya eşitsizliklerinin kanıtlandığı 1958 tarihli makaledeki argümanlar takip edilerek eşitsizlikler $u:{ℝ}^2\to ℝ$ fonksiyonları ve bütün $r\ge 2$ için şu şekilde genelleştirilebilir:

$\Vert u{\Vert }_{L^{2r}}\le Cr\Vert u{\Vert }_{L^r}^{1/2}\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^2}^{1/2}.$

Diğer taraftan, $n=2$ veya $3$ iken elde edilen Ladıjenskaya eşitsizlikleri her zamanki $L^2$ normu yerine zayıf $L^2$ normu alınarak şu şekilde genelleştirilebilir:

$\Vert u{\Vert }_{L^4}\le \{\begin{array}{cc}C\Vert u{\Vert }_{L^{2,\mathrm{\infty }}}^{1/2}\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^2}^{1/2},& n=2,\\ C\Vert u{\Vert }_{L^{2,\mathrm{\infty }}}^{1/4}\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^2}^{3/4},& n=3.\end{array}$

Gagliardo-Nirenberg aradeğerleme eşitsizliği

Ladıjenskaya eşitsizlikleri, Gagliardo-Nirenberg aradeğerleme eşitsizliğinin özel bir halidir.

$p>q\ge 1,s>n(\frac{1}{2}-\frac{1}{p}),\text{ ve }\frac{1}{p}=\frac{\alpha }{q}+(1-\alpha )(\frac{1}{2}-\frac{s}{n})$

olmak üzere, Gagliardo-Nirenberg aradeğerleme eşitsizliği

$\Vert u{\Vert }_{L^p}\le C\Vert u{\Vert }_{L^q}^{\alpha }\Vert u{\Vert }_{H_0^s}^{1-\alpha }$

eşitsizliğini sağlayan ve yalnızca $\mathrm{\Omega }$ya bağlı bir $C$ sabitinin varlığını ifade eder. Bu hâlde, Ladıjenskaya eşitsizlikleri, Gagliardo-Nirenberg aradeğerleme eşitsizliğinde

• $n=2$ iken $p=4,q=2,s=1$ ve $\alpha =\frac{1}{2}$ alındığında elde edilen özel eşitsizlik hâlidir.
• $n=3$ iken $p=4,q=2,s=1$ ve $\alpha =\frac{1}{4}$ alındığında elde edilen özel eşitsizlik hâlidir.

Ayrıca bakınız

• Agmon eşitsizliği