Bihari-LaSalle eşitsizliği

Matematikte Bihari-LaSalle eşitsizliği Grönwall önsavının doğrusal olmayan bir genelleştirmesidir. Eşitsizlik, Amerikalı matematikçi Joseph P. LaSalle ve Macar matematikçi Imre Bihari'nin adlarını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

$u$, $f$ ve $w$ kapalı yarı-doğru $[0,\mathrm{\infty })$ üzerinde tanımlı sürekli fonksiyon olsunlar. Ayrıca,

1. $u$ ve $f$ $[0,\mathrm{\infty })$ üzerinde negatif olmasın
2. $w$ $[0,\mathrm{\infty })$ üzerinde azalmayan fonksiyon olsun ve $(0,\mathrm{\infty })$ üzerinde pozitif olsun.
3. Son olarak, negatif olmayan bir $\alpha$ sayısı için aşağıdaki şu integral eşitsizliği sağlansın

$u(t)\le \alpha +\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)w(u(s))ds,t\in [0,\mathrm{\infty }),$

Bir $G:[0,\mathrm{\infty })\to ℝ$ fonksiyonu

$G(x)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{dy}{w(y)},x\ge 0,x_0>0,$

şeklinde tanımlansın ve $G^{-1}$, $G$'nin ters fonksiyonu olmak üzere

$G(\alpha )+\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)ds\in \mathrm{Dom}(G^{-1}),\mathrm{\forall }t\in [0,T].$

olacak şekilde bir $T$ seçilsin. O zaman, her $t\in [0,T]$ için

$u(t)\le G^{-1}(G(\alpha )+\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)ds)$

eşitsizliği sağlanır.