Ters fonksiyon

A fonksiyonu ƒ ve tersi ƒ^–1. Çünkü ƒ a yı 3'e götürür, tersi ƒ^–1 3'ü a ya götürür.

Matematikte ters fonksiyon, bir fonksiyonun görüntü kümesinden alınan herhangi bir elemanını tanım kümesindeki aslına gönderen fonksiyona denir. Bir fonksiyonun tersi, fonksiyon birebir ve örten ise tanımlı olabilir. Ters fonksiyon $f^{-1}(x)$ ile gösterilir. Ancak $f^{-1}(x)$ yalnızca bir gösterim olup, "f(x) fonksiyonunun çarpmaya göre tersi" ile karıştırılmamalıdır.

Ters fonksiyon bulma

Eğer ƒ X i Y ye götürüyorsa, ƒ^–1 Y yi X e götürür. Yani f(x) = y ise f^-1(y) = x olur.

• $f(x)=ax+b$ şeklindeki doğrusal fonksiyonların tersi $f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$ dır.

Örnek: $f(x)=3x-2\Rightarrow f^{-1}(x)=f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}$

• $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ fonksiyonunun tersi $f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}$ dır. Bir başka deyişle paydaki x'li terim ile paydadaki sabit sayının hem yerleri hem işaretleri değişir.

Örnek:$f(x)=\frac{x+6}{2x-5}\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{5x+6}{2x-1}$

• $f(x)=a{x}^2+bx+c$ gibi ikinci dereceden polinom şeklindeki fonksiyonların tersini bulmak için şu yol uygulanır;

$f:(3,\mathrm{\infty })\to (4,\mathrm{\infty })$

$f(x)=x^2-6x+13$

$y=x^2-6x+13$ (Bu aşamadan sonra x yalnız bırakılmaya çalışılacak.)

$y=(x^2-6x+9)+4$

$y=(x-3{)}^2+4$ (İfadenin bir kısmı tam kare hâline çevrildi)

$y-4=(x-3{)}^2$

$\sqrt{y-4}=\sqrt{(x-3{)}^2}$

$\sqrt{y-4}=|x-3|$

$\sqrt{y-4}=x-3$ (x, 3 ten büyük olduğu için mutlak değer içi pozitiftir.)

$x=3+\sqrt{y-4}$

$f^{-1}(x)=3+\sqrt{x-4}$