Bochner formülü

Matematikte bir alt dalı olan diferansiyel geometride Bochner formülü bir Riemann manifoldu üzerinde tanımlı harmonik fonksiyonları Ricci eğriliğiyle ilişkilendiren bir ifadedir. Bu ifade Galiçya doğumlu Amerikalı matematikçi Salomon Bochner'in adını taşımaktadır.

Formülün ifadesi

$(M,g)$ Riemann manifoldu olsun ve $u:M\to ℝ$ ise sonsuz türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

• $\mathrm{\nabla }u$, $u$ fonksiyonun $g$'ye göre gradyanı
• ${\mathrm{\nabla }}^{2}u$, $u$ fonksiyonun $g$'ye göre Hesse matrisi
• $\text{Ric}$ ise Ricci eğrilik tensörü

olsun. O zaman,

$\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }|\mathrm{\nabla }u{|}^2=g(\mathrm{\nabla }\mathrm{\Delta }u,\mathrm{\nabla }u)+|{\mathrm{\nabla }}^{2}u{|}^2+\text{Ric}(\mathrm{\nabla }u,\mathrm{\nabla }u)$

olur. Bunlara ek olarak, eğer $u$ harmonikse; yani, $\mathrm{\Delta }:={\mathrm{\Delta }}_g$, $g$ metriğine göre Laplasyen olmak üzere $\mathrm{\Delta }u=0$ ise, Bochner formülü

$\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }|\mathrm{\nabla }u{|}^2=|{\mathrm{\nabla }}^{2}u{|}^2+\text{Ric}(\mathrm{\nabla }u,\mathrm{\nabla }u)$

haline dönüşür. Bochner bu formülü kullanarak Bochner sıfırlaşma teoremini ispatlamıştır.

Eğer $(M,g)$ sınırı olmayan bir Riemann manifoldu ve $u:M\to ℝ$ sonsuz türevlenebilir tıkız destekli bir fonksiyonsa, o zaman Bochner formülünün sonucu olarak

$\underset{M}{\int }(\mathrm{\Delta }u{)}^{2}d\text{vol}=\underset{M}{\int }(|{\mathrm{\nabla }}^{2}u{|}^2+\text{Ric}(\mathrm{\nabla }u,\mathrm{\nabla }u))d\text{vol}$

elde edilir. Gerçekten de, yukarıdaki formülün sol tarafı diverjans teoremi işe sıfır olur. Sağ taraftaki ilk ifadede de kısmi integral alma yöntemleri kullanılırsa sonuç elde edilir.

Ayrıca bakınız

• Bochner özdeşliği
• Weitzenböck özdeşliği