Hesse matrisi

Şablon:Hesap Matematikte, Hesse matrisi (Şablon:Dil) bir skaler değerli fonksiyonun ya da skaler alanın ikinci-dereceden kısmi türevlerinden oluşan kare matristir. Çok değişkenli bir fonksiyonun yerel eğriliğini ifade eder. Hesse matrisi, 19. yüzyılda Alman matematikçi Otto Hesse tarafından bulunmuştur ve ismini bu kişiden alır. Hesse'nin ilk kullandığı terim fonksiyonel determinantlardır.

Tanımı ve özellikleri

Şablon:Matematik girdi olarak bir vektör Şablon:Matematik alan ve çıktı olarak bir skaler Şablon:Matematik veren bir fonksiyon olsun; eğer Şablon:Matematik'in tüm ikinci-dereceden kısmi türevleri alınabiliyorsa ve fonksiyonun tanım kümesinde sürekliyse, o zaman Şablon:Matematik'in Hesse matrisi Şablon:Matematik bir kare Şablon:Matematik matris olarak şu şekilde tanımlanır:

$𝐇=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}\end{array}\right].$

veya, i ve j indisleri kullanılarak daha öz bir şekilde ifade edilebilir:

${𝐇}_{i,j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}.$

Bu matrisin determinantı da bazen Hesse olarak adlandırılır.

Bir Hesse matrisinin Jacobi matrisiyle ilişkili olduğu söylenebilir: Şablon:Matematik.

Şablon:Matematik'in karışık türevleri Hesse'nin ilkköşegeninde yer almayan terimleridir. Sürekli oldukları kabul edilirse, türevleme sırası önemli değildir (Schwarz kuramı). Yani Hessian ilkköşegene göre simetriktir. Örneğin,

$\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)=\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right).$