Jacobi matrisi

Şablon:Kalkülüs Vektör hesabında, Jacobi matrisi bir vektör-değerli fonksiyonun bütün birinci-derece kısmi türevlerini içeren matristir. Bu matris bir kare matris olduğunda, yani fonksiyonun girdi sayısı çıktı sayısının vektör bileşenleriyle aynı sayıdaysa, bu matrisin determinantı Jacobi determinantı olarak adlandırılır. Literatürde sıklıkla Jacobi olarak anılır.^[1]

Her boyutu Şablon:Math uzayında birinci-derece türevlenebilir olan fonksiyon Şablon:Math olsun. Bu fonksiyon bir Şablon:Math noktası girdisi için bir Şablon:Math vektörü üretsin. Bu Şablon:Math fonksiyonun Jacobi matrisi Şablon:Math boyutlu bir matris olarak tanımlanır, Şablon:Math ile gösterilir. Bu matrisin her Şablon:Mathinci elemanı kısmi-türev $𝐉_{i j} = \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}$ 'dir:

𝐉 = [\begin{matrix} \frac{\partial 𝐟}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial 𝐟}{\partial x_{n}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{matrix}] .

Literatürde Jacobi'nin yukarıdaki matrisin transpozu olarak tanımlandığı da olur.

Jacobi matrisi Şablon:Math'nin türevlenebilir olduğu her noktadaki türevini temsil eden matristir. Şablon:Math'in Şablon:Math'te türevlenebilir olma koşuluyla, Şablon:Math yer değiştirmeyi ifade eden bir sütun vektör olsun, bu durumda Şablon:Math matris çarpımı Şablon:Math'nin Şablon:Math'in komşuluğundaki yer değiştirmesinin en iyi tahminini verir. Yani, Şablon:Math'yi Şablon:Math'ye dönüştüren fonksiyon Şablon:Math'e yakın noktalar için Şablon:Math'nin en iyi doğrusal dönüşümüdür. Bu doğrusal fonksiyon Şablon:Math'nin Şablon:Math vektöründeki türevi olarak da anılır.

Kaynakça