Borwein integrali

Matematikte Borwein integrali, sinc(ax) ürünleri içeren bir integral'dir, burada verilen sinc fonksiyonu sinc(x) = sin(x)/x için x 0'a eşit değildir ve sinc(0) = 1. Bu integraller sonunda yıkılı görünür kalıpları sergileyerek kötü ün yapmıştır. Aşağıdaki gibi bir örnek verilmiştir:

$\begin{array}{cc}& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}dx=\pi /2\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}dx=\pi /2\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\frac{\sin (x/5)}{x/5}dx=\pi /2\end{array}$

Bu desene kadar devam eder

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/13)}{x/13}dx=\pi /2$

Ancak bir sonraki aşamada desenin başarısız olduğu açıktır:

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/15)}{x/15}dx& =\frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi \\ & =\frac{\pi }{2}-\frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}\pi \\ & \simeq \frac{\pi }{2}-2.31\times 10^{-11}\end{array}$

Genel olarak benzer integral değeri π / 2 olduğunda numaralar 3, 5, ... kendi terslerinin toplamından az olacagi şekilde pozitif gerçel sayılar ile değiştirilmiştir. 1.Yukarıdaki örnekler içinde, 1/3 + 1/5 + ... + 1/13 < 1, ama 1/3 + 1/5 + ... + 1/15 > 1'dir.