Dirac denklemi

Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac'tan alan spinli ve göreli kuantum mekaniği denklemi,

${\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }c\mathrm{\Psi }=m_0{c}^2\mathrm{\Psi }$

şeklinde ifade edilebilir. Burada;

m_0 : parçacığın durağan kütlesini,

c : ışık hızını,

$p_{\mu }$ : dörtmomentumu,

${\gamma }^{\mu }$ : Dirac matrislerini

göstermektedir. Ayrıca $\mathrm{\Psi }$, dört tane karmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristir ve olasılığın dalga fonksiyonudur. Bu dört sayı da iki gruba ayrılır:

$\mathrm{\Psi }=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}^{+}\\ {\mathrm{\Psi }}^{-}\end{array}\right]$

Buradaki ${\mathrm{\Psi }}^{+}$ ve ${\mathrm{\Psi }}^{-}$, Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır. ${\mathrm{\Psi }}^{+}$ dönücüsü, pozitif enerjileri, ${\mathrm{\Psi }}^{-}$ negatif enerjileri ifāde eder. Bunlar da

${\mathrm{\Psi }}^{+}=\left[\begin{array}{c}{\psi }^{+}\\ {\varphi }^{+}\end{array}\right]$

ve

${\mathrm{\Psi }}^{-}=\left[\begin{array}{c}{\psi }^{-}\\ {\varphi }^{-}\end{array}\right]$

olarak tanımlanır. $\psi$ yukarı dönü ve $\varphi$ aşağı dönü olarak anlam kazanır. Yani, dalga fonksiyonu;

$\mathrm{\Psi }=\left[\begin{array}{c}{\psi }^{+}\\ {\varphi }^{+}\\ {\psi }^{-}\\ {\varphi }^{-}\end{array}\right]$

şeklindedir.

Serbest parçacık için Dirac denklemi

Dırac denklemlerinde $\mu =0$ bileşenini ayırıp gerisi için i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz. Minkowski uzayzamanı), Dirac denklemi;

${\gamma }^0{p}_{0}c\mathrm{\Psi }+{\gamma }^i{p}_{i}c\mathrm{\Psi }=m_0{c}^2\mathrm{\Psi }$

biçiminde yazılabilir. Dirac matrisleri; I, birim matris olmak üzere

${\gamma }^0=\left[\begin{array}{ccc}0& & I\\ I& & 0\end{array}\right]$

ve

${\gamma }^i=\left[\begin{array}{ccc}0& & {\sigma }^i\\ -{\sigma }^i& & 0\end{array}\right]$

olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir. Bunlar yerine konunca Dirac denklemi,

$\left[\begin{array}{ccc}0& & p_{0}c+{\sigma }^i{p}_{i}c\\ p_{0}c-{\sigma }^i{p}_{i}c& & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}^{+}\\ {\mathrm{\Psi }}^{-}\end{array}\right]=m_0{c}^2\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}^{+}\\ {\mathrm{\Psi }}^{-}\end{array}\right]$

biçimini alır. Matris çarpımı yapılırsa, çiftlenimli denklemler elde edilir:

$(p_{0}c-{\sigma }^i{p}_{i}c){\mathrm{\Psi }}^{-}=m_0{c}^2{\mathrm{\Psi }}^{+}$

$(p_{0}c+{\sigma }^i{p}_{i}c){\mathrm{\Psi }}^{+}=m_0{c}^2{\mathrm{\Psi }}^{-}$

Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir. Buradan, göreliliğin en önemli denklemlerinden biri elde edilir:

$p_0^2{c}^2-p_i^2{c}^2=m_0^2{c}^4$

Burada $p_{0}c=E=m{c}^2$ ve $p_i^2=p_1^2+p_2^2+p_3^2=|𝐩{|}^2$ olduğundan ifade,

$E^2-|𝐩{|}^2{c}^2=m_0^2{c}^4$

şeklindedir. Buradan E için pozitif ve negatif değerler gelir.

Elektromanyetik alanda Dirac denklemi

Denklemdeki dörtmomentum işlemcisine elektromanyetik potansiyeli dahil edersek:

$p_{\mu }\to p_{\mu }-\frac{e}{c}{A}_{\mu }$

denklem,

${\gamma }^{\mu }(p_{\mu }c-e{A}_{\mu })\mathrm{\Psi }=m_0{c}^2\mathrm{\Psi }$

biçimine gelir. Buradaki $A_{\mu }$, elektromanyetik dörtpotansiyeldir ve e elektriksel yüktür.