Gauss fonksiyonunun integrali

Keyfi bir Gauss fonksiyonunun integrali şöyledir:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}a{e}^{-(x+b{)}^2/c^2}dx=a|c|\sqrt{\pi }.$

Bunun başka bir biçimi de şöyledir:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}k{e}^{-f{x}^2+gx+h}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}k{e}^{-f(x-g/(2f){)}^2+g^2/(4f)+h}dx=k\sqrt{\frac{\pi }{f}}\exp (\frac{g^2}{4f}+h),$

İntegralin yakınsaklaştırılması için burada f kesinlikle pozitif olmalıdır.

İspat

Gauss integrali;

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}a{e}^{-(x+b{)}^2/c^2}dx$

a, b, c > 0 olan bazı reel sabitler, Gauss integralinde yerlerinde konularak hesaplanabilir. Öncelikle a sabiti, integral dışına çıkartılır. Ardından, x to y = x + b biçiminde değişken değiştirme yapılırsa integral şöyle olur:

$a\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2/c^2}dy,$

Burada $z=y/|c|$ biçiminde değişken değiştirme yapılırsa integral şöyle olur:

$a|c|\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z^2}dz.$

Burada aşağıdaki Gaussian integral yoğunluğu kullanılır:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z^2}dz=\sqrt{\pi },$

Sonuçta aşağıdaki integral elde edilir:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}a{e}^{-(x+b{)}^2/c^2}dx=a|c|\sqrt{\pi }.$