Hiperişlem

Hiperişlem, matematik'te aritmetik işlemlerin sonsuz dizisidir. Ardılın birli işlemi, ardından toplama, çarpma ve üs almanın iki işlemiyle devam eden ve ardından ikili işlemlerin ötesine geçerek serilerle ilerleyen bir işlemdir. Üstelden sonraki işlemler için bu dizinin n. elemanı Reuben Goodstein tarafından adlandırıldı. n Yunan önekinden sonra -syon son eki kullanılarak (tetrasyon, pentasyon gibi) elde edilir ve Knuth yukarı ok gösterimindeki n-2 okları kullanılarak yazılabilir. Her hiperişlem, önceki terimlerin yinelemesi olarak tanımlanır. Ackermann işlevi, Knuth yukarı ok gösterimini kullanarak şöyle yinelenebilir:

$a{\uparrow }^{n}b=a{\uparrow }^{n-1}(a{\uparrow }^n(b-1))$

Bu yinelemeli kural, hiperişlemde yaygın olarak kullanılır (aşağıya bakınız).

Tanım

Hiperişlem dizisi, $n\in \mathbb{N}$ olmak üzere $H_n:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ ikili işlemlerinin dizisidir ve yinelemesi şöyle tanımlanır:

$H_n(a,b)=\{\begin{array}{cc}b+1& n=0\text{ise }\\ a& n=1,b=0\text{ise }\\ 0& n=2,b=0\text{ise }\\ 1& n\ge 3,b=0\text{ise }\\ H_{n-1}(a,H_n(a,b-1))& \text{aksi takdirde}\end{array}$

(n = 0 için, ikili işlemin ilk argümanı göz ardı edilerek birli işlem elde edilir.)

n = 0, 1, 2, 3 için bu tanım, ardıl (birli işlem), toplama, çarpma ve üs almanın temel artimetik işlemlerini sırasıyla şu şekilde yeniden üretir;

$H_0(a,b)=b+1,$

$H_1(a,b)=a+b,$

$H_2(a,b)=a\cdot b,$

$H_3(a,b)=a^b,$

ve n ≥ 4 için, bu temel işlemleri, üs almanın da ötesine götürerek Knuth yukarı ok gösterimiyle şöyle yazabiliriz;

$H_4(a,b)=a\uparrow \uparrow b,$

$H_5(a,b)=a\uparrow \uparrow \uparrow b,$

...

$H_n(a,b)=a{\uparrow }^{n-2}b,n\ge 3\text{ için },$

...

Knuth gösterimi ≥ -2 negatif altgöstergelerinde (indislerinde), tüm hiperişlem dizisi için geçerli olduğunu kabul ederek, genişletilebilir, Sadece aşağıdaki altgösterge aralığı hariç:

$H_n(a,b)=a{\uparrow }^{n-2}bn\ge 0\text{ için }$

"Sonraki dizi nedir?" sorusunun cevabını hiperişlem şunlarla gösterebilir: Ardıl, toplama, çarpma, üs alma ve böylece devam eder.

• $a+b=1+(a+(b-1)),$
• $a\cdot b=a+(a\cdot (b-1)),$
• $a^b=a\cdot (a^{(b-1)}),$

Temel aritmetik işlemler arasındaki ilişki, yukarıda da gösterildiği gibi, daha yüksek işlem tanımlanarak gösterilir. Hiperişlem hiyerarşisinin parametreleri, bazen kendi örnek hiperişlem terimi; tarafından ifade edilir. Böylece a taban, b üs (veya hiperüs) ve n de derece (veya kademe)dir.

Genellikle hiperişlemler, önceki hiperişlem tekrarının yükseliş tabanında, artan birleşim sayılarının yolları olarak bilinir. Ardıl, toplama, çarpma ve üs alma kavramlarının hepsi hiperişlemdir. Ardıl işlemi (x den x+1 üretme) en ilkelidir. 1'lerin sayısını belirten toplama işareti, son değeri üretene kadar kendine eklenir. Çarpma, kendisiyle kaç kez tekrarlandığını ifade eder. Üs alma, kendisiyle kaç kez çarpıldığının sayısını ifade eder.

Örnekler

Aşağıda, ilk yedi hiperişlemin listesi görülüyor.

n	İşlem	Tanım	Adlar	Bölge
0	$b+1$	$1+\underset{b}{\underbrace{1+1+1+\cdots +1}}$	hiper0, artış, ardıl, zerasyon	b rastgele
1	$a+b$	$a+\underset{b}{\underbrace{1+1+1+\cdots +1}}$	hiper1, toplama	rastgele
2	$a\cdot b$	$\genfrac{}{}{0ex}{}{\underbrace{a+a+a+\cdots +a}}{b}$	hiper2, çarpma	rastgele
3	$a\uparrow b=a^b$	$\genfrac{}{}{0ex}{}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}{b}$	hiper3, üstel	a > 0, b reel veya a sıfır olmayan, b tam sayı
4	$a\uparrow \uparrow b$	$\genfrac{}{}{0ex}{}{\underbrace{a\uparrow a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}}{b}$	hiper4, tetrasyon	a > 0, b (tam sayı) ≥ −1
5	$a\uparrow \uparrow \uparrow b$ veya $a{\uparrow }^{3}b$	$\genfrac{}{}{0ex}{}{\underbrace{a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow a}}{b}$	hiper5, pentasyon	a ve b tam sayı, a > 0, b ≥ 0
6	$a{\uparrow }^{4}b$	$\genfrac{}{}{0ex}{}{\underbrace{a{\uparrow }^{3}a{\uparrow }^3\cdots {\uparrow }^{3}a}}{b}$	hyper6, hekzasyon	a ve b tam sayı, a > 0, b ≥ 0

Knuth gösterimindeki değerlerin tablolarına bakınız.

Tarihçe

Hiperişlemlerle ilgili ilk tartışma 1914'te Albert Bennett'in, değişmeli hiperişlemleri geliştirdiğinde başladı. Yaklaşık 12 yıl sonra Wilhelm Ackermann hiperişlem dizisine benzeyen $\varphi (a,b,n)$ fonksiyonunu tanımladı.

1947'de R. L. Goodstein, hiperişlem olarak adlandırılan özel işlemler dizisini geliştirdi ve genişleyen üslü işlemleri ifade edebilmek için Yunanca adlar olan tetrasyon, pentasyon, hekzasyon, vb. önerdi. Örn $G(n,a,b)=H_n(a,b)$ gibi üç argümanlı (değişkenli) fonksiyonun hiperişlem dizisi, özgün $\varphi (a,b,n)$ Ackermann işlevinin bir çeşididir.

Gösterimler

Aşağıdaki, hiperişlemlerde kullanılan gösterimlerin bir listesidir.

Ad	Gösterimin $H_n(a,b)$ deki eşdeğeri	Açıklama
Knuth yukarı ok gösterimi	$a{\uparrow }^{n-2}b$	(n ≥ 2 için) Knuth tarafından kullanıldı ve birkaç referans kitap bulundu.
Goodstein gösterimi	$G(n,a,b)$	Reuben Goodstein tarafından kullanıldı.
Özgün Ackermann işlevi	$\begin{array}{c}\varphi (a,b,n-1)1\le n\le 3\text{ için }\\ \varphi (a,b-1,n-1)n>3\text{ için }\end{array}$	Wilhelm Ackermann tarafından kullanıldı.
Ackermann–Péter fonksiyonu	$A(n,b-3)+3a=2\text{ için }$	Bu gösterim, hiperişlemlerdeki 2'ye karşılır gelir.
Nambiar gösterimi	$a{\otimes }^{n}b$	Nambiar tarafından kullanıldı.
Kutu gösterimi	$a\begin{array}{c}n\end{array}b$	Romerio tarafından kullanıldı
Üstgösterge yazımı	$a{}^{(n)}b$	Robert Munafo tarafından kullanıldı
Altgösterge yazımı	$a{}_{(n)}b$	Düşük hiperişlemleri ifade etmesi için Robert Munafo tarafından kullanıldı
Köşeli parantez gösterimi	$a[n]b$	Birçok online forumda kullanıldı. ASCII için uygundur.

Genelleştirme

Farklı başlangıç şartları veya farklı özyineleme kuralları için birçok işlem ortaya çıktı. Bazı matematikçiler tümünü, hiperişlemlerin örnekleri olarak kabul ediyor.

Genel duyarlılık, bir $(S,I,F)$ hiperişlem hiyerarşisi, ikili işlemin $S$'deki ailesi $(F_n{)}_{n\in I}$'dir ve $i,j,k\in I$ şartını sağlayan $I$ tarafından dizinlenir. Burada

• $F_i(a,b)=a+b$ (toplama),
• $F_j(a,b)=a\cdot b$ (çarpma) ve
• $F_k(a,b)=a^b$ (üs almadır).

Hiperişlemde çözüm aranılan açık bir problem, hiperişlem hiyerarşisi $(\mathbb{N},\mathbb{N},F)$'nin, $(ℂ,ℂ,F)$'yi genelleştirebileceğimi yoksa $(ℂ,F_n)$'nin sözdegrup gibi davranacağı (kısıtlı tricted domains).

$a$'dan başlamanın farkı

1928'de Wilhelm Ackermann, 3 argümanlı $\varphi (a,b,n)$ fonksiyonunu tanımladı. Bu 2 argümanlı olan ve Ackermann işlevi olarak bilinen fonksiyonun azar azar geliştirilmiş şeklidir. Özgün Ackermann işlevi olan $\varphi$, modern hiperişlemlere birazcık benziyordu. Çünkü onun başlangıç şartları, tüm $n>2$ için $\varphi (a,0,n)=a$ dan başlar. Ayrıca eklemeyi $(n=0)$'a, çarpmayı $(n=1)$'e ve üs almayı $(n=2)$'a atadı. Böylece başlangıç şartları, tetrasyon ve ilerisi için çok farklı işlemler üretti.

n	İşlem	Açıklama
0	$F_0(a,b)=a+b$
1	$F_1(a,b)=a\cdot b$
2	$F_2(a,b)=a^b$
3	$F_3(a,b)=a\uparrow \uparrow (b+1)$	Tetrasyonun bir formu. Bu işlemin tekrarı, tetrasyonun tekrarından çok farklıdır.
4	$F_4(a,b)=(x\to a\uparrow \uparrow (x+1){)}^b(a)$	Pentasyonla karıştırmayın.

Kullanılan diğer başlangıç şartı, $A(0,b)=2b+1$ (buradaki taban sabit olan $a=2$'dir).

0'dan başlamanın farkı

1984'te, C. W. Clenshaw ve F. W. J. Olver, bilgisayardaki kayan noktaların akışını engellemek için hiperişlemlerin kullanımıyla ilgili tartışma başlattı

n	İşlem	Açıklama
1	$F_1(a,b)=a+b$
2	$F_2(a,b)=a\cdot b=e^{\ln (a)+\ln (b)}$
3	$F_3(a,b)=a^b$
4	$F_4(a,b)=a\uparrow \uparrow (b-1)$	Tetrasyonun bir formu. Bu işlemin tekrarı tetrasyonun tekrarından çok farklıdır.
5	$F_5(a,b)=(x\to a\uparrow \uparrow (x-1){)}^b(0)$	Pentasyonla karıştırmayın.

Değişimli hiperişlemler

Değişimli hiperişlemler 1914 başlarında Albert Bennett tarafından dikkate alındı. Değişimli hiperişlemler özyineleme kuralı tarafından tanımlanır

$F_{n+1}(a,b)=\exp (F_n(\ln (a),\ln (b)))$

bu, a ve b de simetriktir ve tüm hiperişlemlerin değişimli olduğu anlamına gelir. Bu dizi üstelleri içermez ve bu yüzden hiperişlem hiyerarşisi formu değildir.

n	İşlem	Açıklama
0	$F_0(a,b)=\ln (e^a+e^b)$
1	$F_1(a,b)=a+b$
2	$F_2(a,b)=a\cdot b=e^{\ln (a)+\ln (b)}$	Logaritmanın özelliklerinden dolayı.
3	$F_3(a,b)=e^{\ln (a)\ln (b)}$	Üstelin birleşme formu.
4	$F_4(a,b)=e^{e^{\ln (\ln (a))\ln (\ln (b))}}$	Tetrasyonla karıştırmayın.

Dengeli hiperişlemler

Dengeli hiperişlemler, ilk önce Clément Frappier tarafından 1991'de ortaya atıldı. $x^x$ fonksiyon tekrarının temelini oluşturur ve bu yüzden Steinhaus-Moser gösterimi ile ilişkilidir. Dengeli hiperişlemlerde kullanılan özyineleme kuralı şudur:

$F_{n+1}(a,b)=(x\to F_n(x,x){)}^{{\log }_2(b)}(a)$

Bu, süreklilik iterasyonunu, hatta b tam sayıları için bile gereklidir.

n	İşlem	Açıklama
0		0. derece yoktur.
1	$F_1(a,b)=a+b$
2	$F_2(a,b)=a\cdot b=a{2}^{{\log }_2(b)}$
3	$F_3(a,b)=a^b=a^{2^{{\log }_2(b)}}$	Bu üstür.
4	$F_4(a,b)=(x\to x^x{)}^{{\log }_2(b)}(a)$	Tetrasyonla karıştırmayın.

Düşük hiperişlemler

Bu hiperişlemlere bir alternatif, soldan sağa doğru işlem yaparak şöyle elde edilir.

• $a+b=(a+(b-1))+1$
• $a\cdot b=(a\cdot (b-1))+a$
• $a^b=(a^{(b-1)})\cdot a$

bu (° veya altgösterge ile) tanımlanır $a_{(n+1)}b=(a_{(n+1)}(b-1){)}_{(n)}a$ ile $a_{(1)}b=a+b$, $a_{(2)}0=0$ ve $n>2$ için $a_{(n)}0=1$'dir

Fakat bu, geleneksel "üslü kule" formundaki kusurdan dolayı biraz düştü, Fakat şu hiper4 hariç: $a_{(4)}b=a^{(a^{(b-1)})}$

n>3 için $a^{(n)}b$ nasıl $a_{(n)}b$'den çok farklı olabilir ki? Bu, simetriden dolayı, + ve × içinde tanımlanan birleşme olarak adlandırılır (cisime bakınız) fakat ^ eksik.

n	İşlem	Açıklama
0	$b+1$	artış, ardıl, zarasyon
1	$F_1(a,b)=a+b$
2	$F_2(a,b)=a\cdot b$
3	$F_3(a,b)=a^b$	Bu üstür.
4	$F_4(a,b)=a^{a^{(b-1)}}$	Tetrasyonla karıştırmayın.
5	$F_5(a,b)=(x\to x^{x^{(a-1)}}{)}^{b-1}(a)$	Pentasyonla karıştırmayın.

Ayrıca bakınız

• Büyük sayılar