Kare karşılıklılık yasası

Kare karşılıklılık yasası ya da bazen Gauss karşılıklılık yasası,matematiğin sayılar teorisi alt dalından temel bir teoremdir.Tek sayı olan p asal sayısı ve p sayısına bölünmeyen a tam sayısı için $p\mid m^2-a$ koşulunu sağlayan tam kare $m^2$ sayılarının bulunup bulunmadığı,başka bir deyişle bir sayının bir asal sayı için kare kalan olup olmadığı sorusuyla uğraşır.Leonhard Euler tarafından ortaya atılıp halihazırda 1796 yılında bir ispatı olmasına karşın ispatını 1801 yılında Disquisitiones Arithmeticae kitabında ilk olarak Carl Friedrich Gauss tarafından ispatlanan bu teorem modern cebirsel sayılar teorisinde bir çıkış noktası olmuştur.

Teorem

Kare karşılıklılık yasası: p ve q birbirinden farklı tek asal sayılar olsun ve Legendre sembolü ile şu şekilde tanımlansın:

$(\frac{p}{q})$ eğer bazı n tamsayıları için $n^2\equiv p(\mathrm{mod}q)$ olabiliyorsa 1,olamıyorsa -1 değerini alsın.

O zaman

$(\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}*\frac{q-1}{2}}$ olur.

Bu teoremden iki tane daha zayıf ama önemli teorem çıkarılabilir:

1.Teorem: $(\frac{-1}{p})=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$

2. Teorem: $(\frac{2}{p})=(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}$

Kanıtlar

19. ve 20. yüzyıllarda bu teoreme birçok ispat sunulmuştur.Gauss bile tek başına sekiz ispat sunabilmiştir.Onun ilk kanıtı tümevarımın karmaşık ve ayrıntılı bir argümanıyla yapılmıştır.Bu ispat Peter Gustav Lejeune Dirichlet tarafından basitleştirilmiştir.Tam olarak 300 kanıt olmasına karşın bunlardan bazıları sadece ufak detaylarla birbilinden ayrılır.

Kullanımları

Legendre Sembollerinin hızlıca hesaplanması

Kare karşılıklılık yasası, Legendre sembolünün değerinin hızlıca hesaplanmasına ve bir a sayısının bir p asal sayısı için kare kalan olup olmadığının bulunmasını sağlar.

$\left(\frac{77}{101}\right)$ ifadesini ele alalım.Legendre sembolünün temel özelliklerinden dolayı $\left(\frac{77}{101}\right)=\left(\frac{7}{101}\right)\left(\frac{11}{101}\right)$ olur.Önce $\left(\frac{7}{101}\right)$ sayısını ele alalım.Kare karşılıklılık yasasından Legendre sembolünün bazı diğer özelliklerinden dolayı $\left(\frac{7}{101}\right)=(-1{)}^{\frac{7-1}{2}*\frac{101-1}{2}}\left(\frac{101}{7}\right)=\left(\frac{101}{7}\right)=\left(\frac{3}{7}\right)=(-1{)}^{\frac{3-1}{2}*\frac{7-1}{2}}\left(\frac{7}{3}\right)=-\left(\frac{7}{3}\right)=-\left(\frac{1}{3}\right)=-1$

Aynı işlem diğer sembol için yapıldığında ise kare karşılıklılık yasası,2. Teorem ve diğer özelliklerden dolayı $\left(\frac{11}{101}\right)=(-1{)}^{\frac{11-1}{2}*\frac{101-1}{2}}\left(\frac{101}{11}\right)=\left(\frac{101}{11}\right)=\left(\frac{2}{11}\right)=(-1{)}^{\frac{11^2-1}{8}}=-1$ ve sonunda $\left(\frac{77}{101}\right)=\left(\frac{7}{101}\right)\left(\frac{11}{101}\right)=(-1)(-1)=1$ olur.Gerçekten de 28 sayısı için $28^2\equiv 77(\mathrm{mod}101)$ ile koşul sağlanır.