Korn eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde, özellikle fonksiyonel analizde, Korn eşitsizliği vektör alanlarının gradyanlarıyla alakalı bir eşitsizliktir. Eşitsizlik, benzer bir sonucu 1908 yılında elde eden fizikçi Arthur Korn'un adını taşımaktadır. Korn'un esneklik teorisindeki araştırmasından elde edilen bu sonuç, o zamandan beri genişletildi ve bu teoride önemli bir rol oynamaya devam etmektedir.

Korn eşitsizliği, bir vektör alanının gradyanı her noktada çarpık simetrikse, o zaman gradyan sabit bir çarpık simetrik matrise eşit olmalıdır ifadesini genelleştirmektedir Kohn teoremi ise, sezgisel olarak, ifadenin nicel bir versiyonudur. Diğer deyişle, bir vektör alanının gradyanı ortalama olarak çapraz simetrik matrislerin uzayından çok uzakta değilse, o zaman gradyanın belli bir çapraz simetrik matristen çok uzakta değildir.

Eşitsizliğin ifadesi

$\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ açık bir bölge olsun ve $f$ bu bölge üzerinde ve gerçel değerler alan bir fonksiyon olsun. $f$nin Jacobi matrisi $Df$ ile gösterilsin. $Sf$ ile de Jacobi matrisinin simetrik parçası gösterilsin; diğer deyişle, $Sf=\frac{1}{2}{({\partial }_i{f}_j+{\partial }_j{f}_i)}_{i,j}$ olsun. O zaman, Korn eşitsizliği $p>1$ için, $f$nin türevlenebilirlik koşulları altında,$\Vert Df{\Vert }_{L^p}$ normuna $\Vert Sf{\Vert }_{L^p}$ normuna bağlı olarak bir üst sınır verir. Daha açık bir ifadeyle, $W^{k,p}$ Sobelev uzayı ve $W_0^{k,p}$ de bu uzayın tıkız destekli fonksiyonlara kısıtlaması olmak üzere, eğer $f\in W_0^{1,p}({ℝ}^n)\cap W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ ise

$$\Vert Df{\Vert }_{L^p}\le C_p\Vert Sf{\Vert }_{L^p}$$

eşitsizliğini sağlayan ve sadece $p$'ye ve $\mathrm{\Omega }$'ya bağlı ve adına da Korn sabiti denilen biricik $C_p>0$ sayısı vardır.

Korn, ilk ispatında iki özel durumu halletmiştir ve $f$ üzerinde daha güçlü şartlar vardır. Eşitsizlik, genele olarak $p=1$ ve $p=+\mathrm{\infty }$ iken doğru değildir.

Ayrıca bakınız

• Hardy eşitsizliği
• Poincaré eşitsizliği