Radon-Nikodym teoremi

Matematikte Radon-Nikodym teoremi, aynı ölçülebilir uzayda tanımlanmış iki ölçü arasındaki ilişkiyi ifade eden bir sonuçtur. Burada ölçü ile kastedilen ölçülebilir bir uzayın ölçülebilir alt kümelerine tutarlı bir büyüklük atayan bir küme fonksiyonudur. Ölçü örnekleri arasında alan ve hacim verilebilir.

Verilen bir ölçüyü yeni bir ölçüye dönüştürmenin bir yolu, uzayın her noktasına bir yoğunluk atamak ve ardından istenilen ölçülebilir alt küme üzerinde integral almaktır ve şu şekilde ifade edilebilir:

$\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu .$

Burada Şablon:Math, ölçülebilir herhangi bir alt küme Şablon:Math için tanımlanan yeni ölçüdür. Şablon:Math fonksiyonu ise verilen bir noktadaki yoğunluktur. İntegral, μ ölçüsüne göre alınır ve bu ölçü genellikle gerçel doğru Şablon:Math üzerindeki veya n boyutlu Öklid uzayı Şablon:Math'deki Lebesgue ölçüsüdür. Bu ölçü, uzunluk, alan ve hacim gibi standart kavramlara karşılık gelir. Örneğin, kütle yoğunluğu Şablon:Math ve üç boyutlu uzay Şablon:Math'teki Lebesgue ölçüsü Şablon:Math ile gösterilirse, o zaman Şablon:Math uzaysal bir bölge A'daki toplam kütleye eşit olacaktır.

Radon-Nikodym teoremi esasen, belirli koşullar altında, herhangi bir Şablon:Math ölçüsünün aynı uzaydaki başka bir Şablon:Math ölçüsüne göre bu şekilde ifade edilebileceğini belirtir. Şablon:Math fonksiyonu o zaman Radon-Nikodym türevi olarak adlandırılır ve $\frac{d\nu }{d\mu }$ şeklinde gösterilir. Radon-Nikodym teoreminin önemli bir uygulaması olasılık teorisinde görülür. Bu uygulamada, rassal bir değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilir.

Teorem, bu sonucu 1913'te Şablon:Math için kanıtlayan Johann Radon'un ve yine aynı sonucu daha bir genel durumda 1930'da kanıtlayan Otto Nikodym'in adını almıştır. 1936'da Hans Freudenthal, bugün Riesz uzay teorisinde bir sonuç olan Freudenthal spektral teoremini kanıtlayarak Radon-Nikodym teoremini genelleştirdi. Bu sonuçta, Radon-Nikodym teoremi özel bir sonuç olarak elde edilir.

Şablon:Mvar Banach uzayıysa ve Radon-Nikodym teoreminin genellemesi Şablon:Mvar değerlerine sahip fonksiyonlar için de geçerliyse (mutatis mutandis), o zaman Şablon:Mvar'nin Radon-Nikodym özelliğine sahip olduğu söylenir. Bütün Hilbert uzayları Radon-Nikodym özelliğine sahiptir.

Teoremin ifadesi

$(X,\mathrm{\Sigma })$ ölçü uzayı, $\mu$ ve $\nu$ de bu uzayın üzerinde tanımlı σ-sonlu ölçü olsun. Eğer $\nu \ll \mu$ ise (yani, $\nu$ ölçüsü $\mu$'ye göre mutlak sürekli ölçü ise), o zaman ölçülebilir herhangi bir $A\in \mathrm{\Sigma }$ için $$\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu .$$ eşitliğini sağlayan $\mathrm{\Sigma }$-ölçülebilir bir $f:X\to [0,\mathrm{\infty })$ fonksiyonu vardır.

Radon-Nikodym türevi

Yukarıdaki eşitliği sağlayan $f$ fonksiyonu $\mu$'ye göre sıfır ölçülü kümeler haricinde biriciktir. Diğer deyişle, eğer aynı özelliği sağlayan başka bir $g$ fonksiyonu olsaydı, o zaman $f$ ile $g$ fonksiyonları $\mu$'ye göre hemen hemen her yerde birbirine eşit olurdu. Sonuç olarak, böyle bir $f$ fonksiyonu genelde $\frac{d\nu }{d\mu }$ olarak yazılır ve fonksiyona Şablon:Visible anchor' denilir. Buradaki gösterim ve türev terimi kastidir; kalkülüsteki türeve benzeyecek şekilde bir ölçünün yoğunluğunun değişim oranının diğerininkine oranını gösterir.

İşaretli veya karmaşık ölçülere genelleştirilmesi

Benzer bir teorem işaretli ve karmaşık ölçüler için de kanıtlanabilir. Eğer $\mu$ negatif olmayan σ-sonlu bir ölçü, $\nu$ sonlu-değer alan işaretli veya karmaşık bir ölçü ve $\nu \ll \mu$ ise, o zaman $X$ üzerinde tanımlı, gerçel veya karmaşık değerli,$\mu$'ye göre integrali olan ve ölçülebilir herhangi bir $A$ için

$$\nu (A)=\underset{A}{\int }gd\mu$$

ilişkisini sağlayan bir $g$ fonksiyonu vardır.

Örnekler

Aşağıdaki örneklerde, Şablon:Mvar kümesi [0,1] aralığı, $\mathrm{\Sigma }$ ise Şablon:Mvar üzerinde Borel sigma-cebiridir.

• $\mu$, Şablon:Mvar üzerinde tanımlı uzunluk ölçüsü olsun. $\nu$ ise Şablon:Mvar'in altkümesi Şablon:Mvar'ye Şablon:Mvar'nin uzunluğunun iki katını atasın. O zaman, $\frac{d\nu }{d\mu }=2$.
• $\mu$, Şablon:Mvar üzerinde tanımlı uzunluk ölçüsü olsun. $\nu$ ise Şablon:Mvar'in altkümesi Şablon:Mvar'ye {0.1, …, 0.9} kümesinin Şablon:Mvar içinde olan eleman sayısını atasın. O zaman, $\nu$ ölçüsü $\mu$'ye göre mutlak sürekli değildir; çünkü, $\nu$ ölçüsü, $\mu$'ye göre ölçüsü sıfır olan noktalar kümesine sıfır olmayan ölçü değerleri tayin etmektedir. Gerçekten de, $\frac{d\nu }{d\mu }$ türevi yoktur. Mesela, herhangi bir $\epsilon >0$ için, $(0.1-\epsilon )$'den $(0.1+\epsilon )$'a kadar integrali 1 olan sonlu bir fonksiyon yoktur.
• $\nu$ ölçüsü Şablon:Mvar üzerinde tanımlı uzunluk ölçüsü, ${\delta }_0$ ölçüsü 0 merkezli Dirac ölçüsü (0'ı içeren herhangi bir kümenin ölçüsü 1, geri kalan kümelerin ölçüsü ise 0) ve son olarak $\mu =\nu +{\delta }_0$ olsun. O zaman, $\nu$ ölçüsü $\mu$'ye göre mutlak süreklidir ve $\frac{d\nu }{d\mu }=1_{X\setminus \{0\}}$ olur. Yani, $x=0$'da türev 0, $x>0$ olduğunda ise türev 1 olur.

Özellikler

• ν, μ ve λ aynı ölçülebilir uzayda σ-sonlu ölçü olsunlar. Eğer ν ≪ λ ve μ ≪ λ (hem ν hem de μ, λ 'ya göre mutlak sürekli) ise, o zaman λ'ya göre hemen hemen her yerde

$$\frac{d(\nu +\mu )}{d\lambda }=\frac{d\nu }{d\lambda }+\frac{d\mu }{d\lambda }$$

olur.

• Eğer ν ≪ μ ≪ λ ise, o zaman λ'ya göre hemen hemen her yerde

$$\frac{d\nu }{d\lambda }=\frac{d\nu }{d\mu }\frac{d\mu }{d\lambda }$$

olur. Bilhassa, μ ≪ ν ve ν ≪ μ ise, o zaman ν'ye göre hemen hemen her yerde

$$\frac{d\mu }{d\nu }={\left(\frac{d\nu }{d\mu }\right)}^{-1}$$ olur.

• μ ≪ λ ise ve Şablon:Mvar fonksiyonun μ'ye göre integrali varsa, o zaman

$$\underset{X}{\int }gd\mu =\underset{X}{\int }g\frac{d\mu }{d\lambda }d\lambda .$$

• ν sonlu işaretli veya karmaşık ölçü ise, o zaman $$\frac{d|\nu |}{d\mu }=\left|\frac{d\nu }{d\mu }\right|.$$

Uygulamalar

Olasılık teorisi

Teorem, olasılık teorisinin fikirlerini gerçel sayılar üzerinde tanımlanan olasılık kütle ve yoğunluk fonksiyonlarından keyfi kümeler üzerinde tanımlanan olasılık ölçülerine genişletmede çok önemlidir. Bir olasılık ölçüsünden diğerine geçmenin mümkün olup olmadığını ve nasıl mümkün olduğunu söyler. Örneğin, olasılık ölçüleri için koşullu beklentinin varlığını kanıtlamak için kullanılabilir.

Finansal matematik

Diğer alanların yanı sıra, teorem, Finansal matematikte özellikle Girsanov teoremi aracılığıyla yaygın olarak kullanılır. Bu tür ölçü değişiklikleri, türevlerin adil fiyatlandırılmasının temel taşıdır ve gerçek dünyada gözlemlenmiş olasılıkları riske duyarsız olasılıklara dönüştürmek için kullanılır.

Bilgi ıraksaklıkları

μ ve ν Şablon:Mvar üzerinde ölçü olsun. μ ≪ ν ise

• ν 'den μ 'ye Kullback–Leibler ıraksaklığı $$D_{\text{KL}}(\mu \parallel \nu )=\underset{X}{\int }\log \left(\frac{d\mu }{d\nu }\right)d\mu$$

olarak tanımlanır.

• α > 0 ve α ≠ 1 için, ν 'den μ 'ye α mertebeden Rényi ıraksaklığı $$D_{\alpha }(\mu \parallel \nu )=\frac{1}{\alpha -1}\log \left(\underset{X}{\int }{\left(\frac{d\mu }{d\nu }\right)}^{\alpha -1}d\mu \right)$$

olarak tanımlanır.

σ-sonluluk varsayımının gerekliliği

Şablon:Mvar'nün σ-sonlu olmadığı ve Radon-Nikodym teoreminin geçerli olmadığı bir örnek verelim. Gerçel sayılar üzerinde Borel σ-cebirini ele alalım. Bir Borel kümesi Şablon:Mvar'nın sayma ölçüsü Şablon:Mvar, eğer Şablon:Mvar sonlu ise Şablon:Mvar'nın eleman sayısını verir; aksi takdirde, Şablon:Mvar'nın sayma ölçüsü Şablon:Math olur. Şablon:Mvar'nün gerçekten bir ölçü olduğu kolaylıkla kontrol edilebilir. Ancak, Şablon:Mvar, Şablon:Mvar-sonlu değildir. Çünkü, sonlu kümelerin sayılabilir birleşimleri herhangi bir Borel kümesini vermeyebilir. Diğer deyişle, bu halde yazılamayacak Borel kümeleri vardır. Şablon:Mvar'nün bu Borel cebiri üzerindeki olağan Lebesgue ölçüsü olduğunu varsayalım. O zaman, Şablon:Mvar ölçüsü, Şablon:Mvar'ye göre mutlak süreklidir. Çünkü bir A kümesi için Şablon:Math olması ancak Şablon:Mvar boş küme ise gerçekleşir; bu durumda Şablon:Math da zaten sıfırdır.

Şimdi, diyelim ki Radon–Nikodym teoremi bu durumda sağlansın. Yani, elimizde ölçülebilir bir Şablon:Math fonksiyonu vardır öyle ki

$\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu$

tüm Borel kümeleri için sağlanır. Bu halde, Şablon:Mvar'yı Şablon:Math gibi tek noktadan oluşan bir küme alırsak, yukarıdaki integral her Şablon:Mvar sayısı için

$0=f(a)$

verecektir. O zaman, Şablon:Math sıfır olur. Sonuç olarak, Lebesgue ölçüsü Şablon:Mvar de sıfır olacaktır. Bu, bir çelişkidir.

Ayrıca bakınız

• Girsanov teoremi
• Radon–Nikodym kümesi