Reynolds transport teoremi

Diferansiyel kalkülüste, Reynolds transport teoremi, Leibniz–Reynolds transport teoremi veya kısaca Reynolds teoremi, integralin türevi olarak da bilinen Leibniz integral kuralının genelleştirilmiş üç boyutlu hâli. Teorem ismini Osborne Reynolds'dan alır. Sürekli ortamlar mekaniğinin temel denklemlerini daha kullanışlı hâle getirir.

Şablon:Math'in Şablon:Math sınırına sahip zamana bağlı Şablon:Math bölgesinde integralinin alındığı düşünülür ve ardından zamana göre türev alınırsa:

$\frac{d}{dt}\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟dV.$

Eğer türev integralin içine taşınmak istenirse iki sorunla karşılaşılır: Şablon:Math zamana bağlıdır ve hareketli sınırlardan ötürü Şablon:Math alanı değişmektedir. Reynolds transport teoremi gerekli bağlantıyı sağlar.

Genel form

Reynolds transport teoremi şu şekilde ifade edilebilir:

$\frac{d}{dt}\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟dV=\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }\frac{\partial 𝐟}{\partial t}dV+\underset{\partial \mathrm{\Omega }(t)}{\int }({𝐯}^b\cdot 𝐧)𝐟dA$

Şablon:Math dış yönlü birim normal vektörü; Şablon:Math bölgedeki bir noktayı ve integrasyon değişkenini; Şablon:Math ve Şablon:Math, Şablon:Math'deki hacim ve yüzey elemanlarını; Şablon:Math alan elemanının hızını (akış hızını değil) temsil eder. Şablon:Math fonsiyonu tensör, vektör veya skaler olabilir. Denklemin sol tarafındaki integral sadece zamana bağlı bir fonksiyon olduğu için tam türev kullanılmıştır.

Maddesel elemanlar için form

Sürekli ortamlar mekaniğinde bu teorem maddesel elemanlar için sıklıkla kullanılır. Bu elemanlar, süreklilik içinde tanımlanabilecek en küçük akışkan veya katı parçacıklarıdır ve bunlara herhangi bir madde giriş-çıkışı olmadığı kabul edilir. Eğer Şablon:Math maddesel eleman ise, bir Şablon:Math hız fonksiyonu vardır ve sınır elemanları şu denkliğe uyar: ${𝐯}^b\cdot 𝐧=𝐯\cdot 𝐧.$ Bu denklik genel forma uygulanırsa şu denklem elde edilir:

$\frac{d}{dt}\left(\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟dV\right)=\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }\frac{\partial 𝐟}{\partial t}dV+\underset{\partial \mathrm{\Omega }(t)}{\int }(𝐯\cdot 𝐧)𝐟dA.$

Ayrıca bakınız

• Leibniz integral kuralı

Notlar

• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı

Dış bağlantılar

• Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, in three volumes, published circa 1903, now fully and freely available in digital format:Volume 1, Volume 2, Volume 3,
• https://web.archive.org/web/20080327180821/http://www.catea.org/grade/mecheng/mod6/mod6.html#slide1
• http://planetmath.org/reynoldstransporttheoremŞablon:Webarşiv