Sıfır uzayı

$V$ vektör uzayından, $W$ vektör uzayına bir dönüşüm olan $L$ matrisinin sıfır uzayı $Ker(L)$'in tasviri.

Doğrusal cebirde, bir $M$ matrisinin sıfır uzayı (kernel, null space) $Mx=\mathbf{\text{0}}$ bağıntısını sağlayan tüm $x$ vektörlerinin oluşturduğu kümedir. Bir $M$ matrisinin 'sıfırlık' boyutu, $M$ matrisine çarpıldığında sıfır sonucunu veren birbirinden bağımsız $x$ yöneylerine göre hesaplanır.

Tanım

m × n boyutlarına sahip bir $M$ matrisinin sıfır uzayı aşağıdaki şekilde gösterilir:

$\text{Null}(M)=\text{Ker}(M)=\{x\in {ℂ}^n:Mx=\mathbf{\text{0}}\}\text{,}$

burada $\mathbf{\text{0}}$, m bileşenli bir sıfır vektörüne karşılık gelmektedir. $Mx$ = $\mathbf{\text{0}}$ şeklindeki matris denklemi aşağıdaki türdeş denklemler sistemi ile ayrı ayrı yazılabilir:

$Mx=\mathbf{\text{0}}\iff \begin{array}{cccccccccccc}{M}_{11}{x}_1& & +& & M_{12}{x}_2& & +\cdots +& & M_{1n}{x}_n& & =0& \\ M_{21}{x}_1& & +& & M_{22}{x}_2& & +\cdots +& & M_{2n}{x}_n& & =0& \\ ⋮& & & & ⋮& & & & ⋮& & ⋮& \\ M_{m1}{x}_1& & +& & M_{m2}{x}_2& & +\cdots +& & M_{mn}{x}_n& & =0.& \end{array}$

$M$ matrisinin sıfır uzayı yukarıdaki denklem sisteminin çözümü ile elde edilir.

Örnek

Aşağıdaki $M$ matrisini düşünelim

$M=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ -4& 2& 3\end{array}\right].$

Bu $M$ matrisinin sıfır uzayını bulmak için, (x, y, z) ∈ $R$³ üç boyutlu x-y-z uzayında aşağıdaki yazımı kullanabiliriz

$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ -4& 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\text{.}$

Yukardaki denklemi x, y ve z cinsinden aşağıdaki gibi ayrı ayrı yazabiliriz:

$\begin{array}{ccccccccccccc}2x& & +& & 3y& & +& & 5z& & =& & 0,\\ -4x& & +& & 2y& & +& & 3z& & =& & 0.\\ \end{array}$

Yukarıdaki denlemler çözüldüğünde

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=c\left[\begin{array}{c}-1\\ -26\\ 16\end{array}\right].$

çözüm sistemi bulunur. Çözülen denklemler iki tane ve bilinmeyen üç tane olduğundan, c çarpanı herhangi bir şey olmak üzere yukarıdaki gösterim çözümleri gösterir.