Sard teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan analiz ve diferansiyel geometride Sard teoremi (bazen Sard önsavı) ya da Morse-Sard teoremi, bir Öklid uzayı veya manifolddan yine başka bir Öklid uzayı ya da manifolda tanımlanan pürüzsüz bir fonksiyonun kritik değerler kümesinin (yani, kritik noktaların görüntü kümesinin) sıfır Lebesgue ölçüsüne sahip olduğunu ifade eder. Teorem, Anthony Morse ve Arthur Sard'ın adlarını taşımaktadır.

İfadesi

Öklid uzayı

$n\text{ ve }m$ pozitif tam sayı ve $k\ge \max \{n-m+1,1\}$ olmak üzere,

$f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$

fonksiyonu $C^k$ olsun; yani, $f$, $k$ kere sürekli türevlenebilen bir fonksiyon olsun. $X\subset {ℝ}^n$, fonksiyonun kritik noktalarının kümesi olsun; yani, fonksiyonun Jacobi matrisinin kertesinin (rankının) $m$'den küçük olduğu noktaların kümesini $X$ ile gösterelim. O zaman, $f(X)$ kümesinin ${ℝ}^m$de Lebesgue ölçüsü sıfırdır.

Sezgisel olarak tarif edilirse, $X$ kümesi tanım kümesinin içinde büyük olabilir. Ancak, bu kümenin görüntüsü Lebesgue ölçüsü anlamında küçüktür. Diğer deyişle, ${ℝ}^n$ içinde kritik noktalar çok olabilir ama ${ℝ}^m$ içinde kritik değerler azdır.

Manifoldlar için tanım

$M$ ve $N$ boyutları $m$ ve $n$ olan türevlenebilir manifold olsun ve u manifoltlar arasında

$f:N\to M$

$C^k$ fonksiyonu verilmiş olsun. Bu fonksiyonun kritik noktaları, $f$nin diferansiyelinin, yani,

$df:TN\to TM$

gönderiminin bir doğrusal dönüşüm olarak kertesinin (rankının) $m$'den küçük olduğu noktalardır. Eğer $k\ge \max \{n-m+1,1\}$ olursa, Sard teoremine göre, $f(X)$ kümesinin $M$ manifoldunun altkümesi olarak ölçüsü sıfırdır.

Teoremin bu hâli, sayılabilir bir koordinat yamaları kümesi aldıktan sonra teoremin Öklid uzayları için olan halini kullanarak elde edilebilir. Teoremin sonucu yerel bir ifadedir; çünkü, ölçüsü sıfır kümelerin sayılabilir birleşiminin ölçüsü yine sıfırdır. Sıfır ölçüye sahip bir koordinat yamasının bir alt kümesinin özelliği difeomorfizma altında değişmez bir özelliktir.

Değişik hâlleri

Teoremin öncü hâlleri $m=1$ iken Anthony P. Morse tarafından 1939'da daha genel hâli ise Arthur Sard tarafından 1942'de kanıtlanmıştır Teoremin tekillik teorisi başta olmak üzere birçok alanda, uyarlanmış, değişik hâlleri de vardır. Sonsuz boyutlu Banach manifoldları için olan bir hâli Stephen Smale tarafından kanıtlanmıştır. Teoremin buradaki ifadesi oldukça güçlüdür ve kanıtı analiz içerir. Topolojide, Brouwer sabit nokta teoreminde ve Morse teorisindeki bazı uygulamalarda olduğu gibi, "sabit olmayan pürüzsüz bir gönderimin en az bir tane regüler değeri vardır" şeklindeki daha zayıf sonucu kanıtlamak için sıklıkla alıntılanır.

Sard, 1965 yılında, teoremini daha da genelleştirerek şunu elde etti:
$k\ge \max \{n-m+1,1\}$ olmak üzere, $f:N\to M$ gönderimi $C^k$ ise ve $A_r\subseteq N$ kümesi $d{f}_x$'in kertesinin $r$'den kesinlikle küçük olduğu $x\in N$ noktalarından oluşan küme ise, o zaman, $f(A_r)$ kümesinin r-boyutlu Hausdorff ölçüsü sıfırdır. Ayrıca, $f(A_r)$ kümesinin Hausdorff boyutu en fazla r olur; ancak, $f(A_r)$ kümesinin Hausdorff boyutu r 'ye keyfi derecede yakın olabilir.