Stolarsky ortalaması

Matematikte Stolarsky ortalaması, logaritmik ortalamanın bir genelleştirmesidir. 1975 yılında Kenneth B. Stolarsky tarafından ortaya atılmıştır.

Tanım

Stolarsky ortalaması şu şekilde tanımlanır: $x,y$ pozitif gerçek sayılar olmak üzere,

$\begin{array}{cc}{S}_p(x,y)& =\underset{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\lim }{\left(\frac{{\xi }^p-{\eta }^p}{p(\xi -\eta )}\right)}^{1/(p-1)}\\ & =\{\begin{array}{cc}x& x=y\text{ ise,}\\ {\left(\frac{x^p-y^p}{p(x-y)}\right)}^{1/(p-1)}& x\ne y\text{ ise.}\end{array}\end{array}$

Tanımın elde edilmesi

Ortalama değer teoremine göre, herhangi bir (x, y) aralığında bir fonksiyonun türevinin kesen doğrunun eğimine eşit olmasını sağlayan bir $\xi$ değeri bulunur:

$\mathrm{\exists }\xi \in (x,y):f^{\prime }(\xi )=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}.$

Stolarsky ortalaması, $f(x)=x^p$ durumunda $\xi$'nin alacağı değer olarak tanımlanabilir:

$\xi =f{\text{'}}^{-1}\left(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right).$

Özel durumlar

• $\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_p(x,y)$ minimumdur.
• $S_{-1}(x,y)$ geometrik ortalamadır.
• $\underset{p\to 0}{\lim }{S}_p(x,y)$ logaritmik ortalamadır.
• $S_{\frac{1}{2}}(x,y)$ $1/2$. dereceden genelleştirilmiş ortalamadır.
• $S_2(x,y)$ aritmetik ortalamadır.
• $S_3(x,y)=QM(x,y,GM(x,y))$ karesel ortalama ve geometrik ortalama ile ilişkili bir niceliktir.
• $\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_p(x,y)$ maksimumdur.

Tanımın genelleştirilmesi

Stolarsky ortalaması, bölünmüş farklar için ortalama değer teoremi göz önüne alınarak $n$. türev için $n+1$ değişkenli duruma genelleştirilebilir: $f(x)=x^p$ olmak üzere,

$S_p(x_0,\dots ,x_n)={f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_0,\dots ,x_n]).$

Ayrıca bakınız

• Logaritmik ortalama
• Aritmetik ortalama
• Geometrik ortalama
• Harmonik ortalama
• Genelleştirilmiş ortalama
• Karesel ortalama