Temsil teorisi

Temsil teorisi soyut cebirdeki cebirsel yapıları, daha somut olan matematiksel nesnelerin dönüşümleri olarak tasvir etmeye çalışan bir matematik dalıdır. Örneğin soyut bir $G$ grubunu bir vektör uzayı $V$ 'nin eşyapı dönüşüm grubunun( $A u t (V)$ ) içinde görmeye çalışır. Böyle temsillere doğrusal temsil denir, çünkü bu temsil aslında $G$ grubundan genel lineer grup $G L (V)$ 'ye bir morfizma yazmak demektir.^[1] Böyle bir temsil bulmaktaki amaç, $G$ grubunu çalışmak için lineer cebir kullanmaktır. Soyut gruplardaki çarpma işlemi, özellikle bir bilgisayar için matris çarpmasından daha zordur. Soyut bir grubun doğrusal temsillerini kullanarak, gruptaki kimi hesaplamaları bilgisayara yaptırmak daha kolay olur.

$G$ 'den bir $X$ kümesinin eşyapı dönüşüm grubu $A u t (X)$ 'e bir morfizma yazarak, kümesel bir temsil elde edilir. Kümesel temsillere literatürde genellikle grup etkisi denir. $X$ 'in eşyapı dönüşümleri grubu aynı zamanda $S y m_{X}$ simetrik grubu olduğu için, $G$ 'nin $X$ kümesine etkisi, $G$ 'den $S y m_{X}$ grubuna bir grup morfizması yazmakla eşdeğerdir.

Benzer bir şekilde $G$ 'den bir $T$ ağacının eşyapı dönüşümü grubu $A u t (T)$ 'ye bir morfizma yazarak, ağaçsal bir temsil elde edilir.

Grup temsilleri yerine, halka temsillerinden de bahsedilebilir. Abelyen grup yapısı bulunan bir matematiksel nesne $A$ 'nın yapı dönüşümleri $E n d (A)$ , morfizmaların toplamasını $(f + g) (a) = f (a) + g (a)$ olarak yazarsak, bu toplama işlemi ve fonksiyon bileşkesi altında bir halka olur. Dolayısıyla bir $R$ halkasının temsilini vermek için, $R$ 'den $E n d (A)$ 'ya bir halka homomorfizması yazmak gerekir. Örneğin bir $R$ halkasının doğrusal bir temsili, $R$ 'den bir vektör uzayı $V$ 'nin yapı dönüşümleri halkası $E n d (V)$ 'ye bir halka homomorfizması yazılarak yapılır.