Euler-Fuss denklemi

Leonhard Euler'in temel dörtgen geometrisindeki birçok sonucundan biri, iç içe uzanan iki belirli çember için Öklid düzleminde, hem daha büyük çemberin kirişler dörtgeni hem de daha küçük olana teğet olan bir teğetler dörtgeni olan bir dışbükey dörtgen bulunması problemiyle ilgilidir. Euler bunun için, dairenin merkezi ile bir düzlem üçgenin merkezi arasındaki mesafeye ilişkin teoremindekiyle yakından ilişkili olan bir denklem buldu. Denklemin ilk yayınlanmış sunumu ve türetilmesi, Euler'in sekreteri Nikolaus Fuß tarafından 1798'de sağlandı.^[1]^[2]^[3]

Denklemin gösterimi

Aşağıdaki teorem, karşılık gelen Fuss teoremini ve tersini birleştiren Euler-Fuß denklemi için geçerlidir:^[4]

İki pozitif sayı $r$ ve $R$ verilsin, yanı sıra iki daire $𝒦_{r}$ ve $𝒦_{R}$ Öklid düzlemi $ℝ^{2}$ içinde $𝒦_{R}$ yarıçap $R$ ve $𝒦_{r}$ yarıçap $r$ 'ye sahip olsun.

Çember $𝒦_{R}$ , $conv (𝒦_{R})$ ’den içerideki çember

𝒦_{r}

,

conv (𝒦_{r})

' den oluşsun ve

r < R

olsun.

İki çember merkezi arasındaki uzunluk $d$ ile gösterilsin.

Sonra:

O zaman ve ancak o zaman Öklid düzleminde dışbükey bir dörtgen var olur. $𝒦_{r}$ iç teğet çember ve $𝒦_{R}$ çevrel çember olmak üzere denklem;

\frac{1}{(R + d)^{2}} + \frac{1}{(R - d)^{2}} = \frac{1}{r^{2}}

olarak gösterilir.

Uyarılar

Heinrich Dörries Mathematischen Miniaturen adlı kitabında Euler-Fuß denklemi, Fuß'un dörtgen formülü anahtar kelimesi altında da anılır. Dörrie diğer parametreleri kullanarak aşağıdaki denklemi verir:^[3]^[5]

2 r^{2} (R^{2} + d^{2}) = (R^{2} - d^{2})^{2}

Heinrich Dörrie'ye göre, hem çevrel hem de iç teğet bir çembere sahip olan bir dışbükey dörtgene iki merkezli (bicentric) dörtgen de denir.^[5]
Triumph der Mathematik adlı çalışmasında Heinrich Dörrie, Nikolaus Fuß'un da beşgen, altıgen, yedigen ve sekizgen için iki merkezliye karşılık gelen formüller bulduğunu işaret etti.^[6]

Kaynakça ve literatür

Notlar

Şablon:Kaynakça

Dış bağlantılar

Konuyla ilgili yayınlar

Şablon:Leonhard Euler Şablon:Otorite kontrolü

↑ Julian Lowell Coolidge: A Treatise on the Circle and the Sphere. 1916 (Nachdruck 1971, 2004), S. 44 ff
↑ Max Simon: Über die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX. Jahrhundert. 1906, S. 108
↑ ^3,0 ^3,1 Heinrich Dörrie: Mathematische Miniaturen. 1979, S. 71–72, 115
↑ Julian Lowell Coolidge: op. cit. S. 46 ff, 117–118
↑ ^5,0 ^5,1 Dörrie, op. cit., s. 522
↑ Heinrich Dörrie: Triumph der Mathematik. 1958, s. 196

[JLC-I-1] Julian Lowell Coolidge: A Treatise on the Circle and the Sphere. 1916 (Nachdruck 1971, 2004), S. 44 ff

[MS-I-2] Max Simon: Über die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX. Jahrhundert. 1906, S. 108

[HD-I-3] 3,0 ^3,1 Heinrich Dörrie: Mathematische Miniaturen. 1979, S. 71–72, 115

[JLC-II-4] Julian Lowell Coolidge: op. cit. S. 46 ff, 117–118

[HD-II-5] 5,0 ^5,1 Dörrie, op. cit., s. 522

[HD-Ia-6] Heinrich Dörrie: Triumph der Mathematik. 1958, s. 196

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Euler-Fuss denklemi

İçindekiler

Denklemin gösterimi

Uyarılar

Kaynakça ve literatür

Notlar

Dış bağlantılar

Konuyla ilgili yayınlar

Gezinti menüsü

Euler-Fuss denklemi

Denklemin gösterimi

Uyarılar

Kaynakça ve literatür

Notlar

Dış bağlantılar

Konuyla ilgili yayınlar

Gezinti menüsü

Ara