Fuhrmann üçgeni

Şablon:Ortala

Şablon:Ortala

Adını Wilhelm Fuhrmann (1833-1904)'dan alan Fuhrmann üçgeni, verilen rastgele bir üçgene dayanan özel bir üçgendir.

Verilen bir $\mathrm{△}ABC$ üçgeni ve üçgenin çevrel çemberi için üçgen kenarları üzerindeki yayların orta noktaları $M_a,M_b,M_c$ ile gösterilir. Bu orta noktalar, ilgili üçgen kenarlarında yansıyarak $M_a^{\prime },M_b^{\prime },M_c^{\prime }$ noktaları elde edilir ve bu da Fuhrmann üçgeniŞablon:'ni oluşturur.

Fuhrmann üçgeninin çevrel çemberi, Fuhrmann çemberidir. Ayrıca Furhmann üçgeni yay orta noktalarının oluşturduğu üçgene benzer, yani $\mathrm{△}{M}_c^{\prime }{M}_b^{\prime }{M}_a^{\prime }\sim \mathrm{△}{M}_a{M}_b{M}_c$'dir. Fuhrmann üçgeninin alanı için aşağıdaki formül geçerlidir:

$|\mathrm{△}{M}_c^{\prime }{M}_b^{\prime }{M}_a^{\prime }|=\frac{(a+b+c)|OI{|}^2}{4R}=\frac{(a+b+c)(R-2r)}{4}$

Burada $O$ verilen $\mathrm{△}ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezini ve $R$ ise dış yarıçapı, $I$ iç teğet çemberinin merkezi ve $r$ ise iç yarıçapı gösterir. Euler teoremine göre ayrıca $|OI{|}^2=R(R-2r)$ eşitliği vardır. Fuhrmann üçgeninin kenarları için aşağıdaki denklemler geçerlidir:

$a^{\prime }=\sqrt{\frac{(-a+b+c)(a+b+c)}{bc}}|OI|$

$b^{\prime }=\sqrt{\frac{(a-b+c)(a+b+c)}{ac}}|OI|$

$c^{\prime }=\sqrt{\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{ab}}|OI|$

Burada $a,b,c$ verilen $\mathrm{△}ABC$ üçgeninin kenarlarını ve $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ Fuhrmann üçgeninin kenarlarını gösterir (çizime bakınız).