Gauss sabiti

Matematikte, Gauss sabiti, G ile gösterilir,1 ve karekök 2 aritmetik-geometrik ortalama'sının tersi olarak tanımlanır.

$G=\frac{1}{\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(1,\sqrt{2})}=0.8346268\dots$

sabit 30 Mayıs, 1799'da keşfetmiş olup Carl Friedrich Gauss'un adına atfedilmiştir.

$G=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$

so that

$G=\frac{1}{2\pi }\beta (\begin{array}{c}\frac{1}{4}\end{array},\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array})$

burada β beta fonksiyonu'dur.

Diğer sabitlerle ilişkisi

Gama fonksiyonu, Gauss sabitinin kapalı formu olarak kullanılırsa değişkene 1/4 verildiğinde :

$\mathrm{\Gamma }(\begin{array}{c}\frac{1}{4}\end{array})=\sqrt{2G\sqrt{2{\pi }^3}}$

ve böylece π ve Γ(1/4) cebirsel olmayan sayılardır, Gauss sabiti aşkın sayıdır.

Lemniscate sabiti

Gauss sabiti lemniskat sabitinin tanımında kullanılır, birincisi:

$L_1=\pi G$

ve ikinci sabit:

$L_2=\frac{1}{2G}$

Bununla bir lemniskat'ın yay uzunluğu bulunur. .

Diğer formüller

Jacobi teta fonksiyonu'nun bir formülünün terimlerinin içerisinde $G$ verilir.

$G={\vartheta }_{01}^2(e^{-\pi })$

gibi hızlı yakınsak serisi

$G=\sqrt[4]{32}{e}^{-\frac{\pi }{3}}{(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{-2n\pi (3n+1)})}^2.$

sonsuz çıkarım için

$G=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\tanh }^2\left(\frac{\pi m}{2}\right).$

Gauss's sabiti için sürekli kesir'de [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].sayıları vardır.

Kaynakça

• Şablon:Mathworld
• Sequences A014549 and A053002 in OEIS