Küresel kapak

Dairesel kapak mor kesittir.

Küresel kapak veya küresel kubbe geometride bir terimdir. Bir kürenin bir kısmı ve bir düzlem ile kesilir. Eğer düzlem kürenin merkezinden geçer, böylece kapağın yüksekliği kürenin yarıçapına eşittir, küresel kapağa bir yarıküre denir.

Hacim ve yüzey alanı

Eğer kapağın tabanının yarıçapı $a$ ve kapağın yüksekliği $h$ ise küresel kapağın hacmi

$V=\frac{\pi h}{6}(3a^2+h^2),$ dir

ve küresel kapağın eğri yüzey bölgesidir

$A=2\pi rh.$

$h$ ve $r$ arası ilişki sürece ilgisizdir $h>0$ ve $h<2r$. Açıklamada mavi bölüm ayrıca küresel bir başlıktır..

Parametreler $a$, $h$ ve $r$ bağımsız değildir:

$r^2=(r-h{)}^2+a^2=r^2+h^2-2rh+a^2,$

$r=\frac{a^2+h^2}{2h}$.

Bu bölge formülü içinde yerine konarak verilirse:

$A=2\pi \frac{(a^2+h^2)}{2h}h=\pi (a^2+h^2).$

Ayrıca diyagramın üst yarıküre içinde, $h=r-\sqrt{r^2-a^2}$ ve in the alt yarıküre $h=r+\sqrt{r^2-a^2}$; bundan dolayı in ya da yarıküre $a=\sqrt{h(2r-h)}$ ve böylece hacim için bir alternatif bağıntı

$V=\frac{\pi h^2}{3}(3r-h)$.

Uygulamalar

buradaki tüm noktaların hacmi kesişen iki küreler Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik yarıçaplarının en az birindedir

$V=V^{(1)}-V^{(2)}$,

burada

$V^{(1)}=\frac{4\pi }{3}{r}_1^3+\frac{4\pi }{3}{r}_2^3$

iki yalıtılmış kürenin toplamıdır ve

$V^{(2)}=\frac{\pi h_1^2}{3}(3r_1-h_1)+\frac{\pi h_2^2}{3}(3r_2-h_2)$

kesişmiş iki küresel kapakların toplamıdır. Eğer Şablon:Matematik iki küre merkezleri arası uzunluk, değikenlerin eliminasyonu Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik yoluyla

$V^{(2)}=\frac{\pi }{12d}(r_1+r_2-d{)}^2[d^2+2d(r_1+r_2)-3(r_1-r_2{)}^2].$

Genelleştirme

Diğer katı kesitleri

küresel kubbe bir sferoidin kapalı bölgesi ile elde edilir böylece the resulting kubbe is çembersel simetrik rotasyonun bir ekseni var) ve elipsoide kubbeye benzer elipsoidten türetilir.

Hiperküresel kapak

Genel olarak,$h$ yüksekliğinin bir hiperküresel kapağın ve yarıçapı $n$-boyutlu hacmi $r$ $n$-boyutlu Öklidyen uzay içinde:$V=\frac{{\pi }^{\frac{n-1}{2}}{r}^n}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}\underset{0}{\overset{\arccos \left(\frac{r-h}{r}\right)}{\int }}{\sin }^n(t)\mathrm{d}t$ ile verilir. burada $\mathrm{\Gamma }$ (gama fonksiyonu) ile $\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$ verilir.

formül için $V$ birim n-kürenin hacim terimlerinin içinde ifade edilebilir $C_n={\pi }^{n/2}/\mathrm{\Gamma }[1+\frac{n}{2}]$ ve hipergeometrik fonksiyon ${}_2{F}_1$ veya düzenli tamamlanmamış beta fonksiyonu $I_x(a,b)$as

$V=C_n{r}^n(\frac{1}{2}-\frac{r-h}{r}\frac{\mathrm{\Gamma }[1+\frac{n}{2}]}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }[\frac{n+1}{2}]}{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1-n}{2};\frac{3}{2};{\left(\frac{r-h}{r}\right)}^2))=\frac{1}{2}{C}_n{r}^n{I}_{(2rh-h^2)/r^2}(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2})$ ,

ve $A$ bölge formülü birim n-kürenin bölgenin terimleri içinde ifade edilebilir $A_n=2{\pi }^{n/2}/\mathrm{\Gamma }[\frac{n}{2}]$ nin bölgenin as

$A=\frac{1}{2}{A}_n{r}^{n-1}{I}_{(2rh-h^2)/r^2}(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2})$ ,

burada $0\le h\le r$.

Ayrıca bakınız

• Daire segmenti-benzer 2D nesne.
• Kubbe (matematik)
• Katı açı-n-küre kapaklar için formül içerir
• Küresel bölüm
• Küresel sektör
• Küresel kama

Kaynakça

• Şablon:Dergi kaynağı
• Şablon:Dergi kaynağı
• Şablon:Dergi kaynağı
• Şablon:Dergi kaynağı
• Şablon:Dergi kaynağı
• Şablon:Dergi kaynağı
• Şablon:Dergi kaynağı
• Şablon:Dergi kaynağı.

Dış bağlantılar

• Şablon:MatematikWorld, derivation and some additional formulas
• Online calculator for spherical cap volume and area Şablon:Webarşiv
• Summary of spherical formulas Şablon:Webarşiv