Pi sayısı

Pi sembolü

Pi sayısı (Şablon:Mvar), bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen irrasyonel matematik sabitidir. İsmini, Yunanca περίμετρον (çevre) sözcüğünün ilk harfi olan Şablon:Mvar harfinden alır. Pi sayısı, Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir. Aynı zamanda ismini yunancada pie anlamına gelen πίτα' dan alır.

Şablon:Pi (Şablon:IPAc-en; "pi" olarak yazılır) sayısı bir matematik sabitidir; çemberin çevresinin çapına oranıdır ve yaklaşık olarak 3,14159'a eşittir. Şablon:Pi sayısı matematik ve fizikteki birçok formülde görünür. Bu bir irrasyonel sayıdır yani tam olarak iki tam sayının oranı olarak ifade edilemez ancak $\frac{22}{7}$ gibi kesirler genellikle yaklaşık değer olarak kullanılır. Sonuç olarak, ondalık gösterimi hiçbir zaman bitmez ve kalıcı olarak tekrarlanan bir düzene girmez. Bu bir aşkın sayıdır yani yalnızca toplamları, çarpımları, üsleri ve tam sayıları içeren bir denklemin çözümü olamaz. Şablon:Pi'nin aşkınlığı, eski daireyi kareleştirme problemine meydan okumasını bir pergel ve çizgilik (Pergel ve çizgilik çizimleri) ile çözmenin imkansız olduğunu ima eder. Şablon:Pi'nin ondalık basamakları rastgele dağıtılmış gibi görünüyor,Şablon:Efn ancak bu varsayımın kanıtı bulunamadı.

Binlerce yıldır matematikçiler, bazen değerini yüksek bir doğruluk derecesine göre hesaplayarak Şablon:Pi hakkındaki anlayışlarını genişletmeye çalıştılar. Mısırlılar ve Babilliler de dahil olmak üzere eski uygarlıklar, pratik hesaplamalar için oldukça doğru Şablon:Pi yaklaşımları gerektiriyordu. MÖ 250Şablon:Nbsp civarında, Yunan matematikçi Arşimet keyfi doğrulukla Şablon:Pi'ye yaklaşmak için bir algoritma yarattı. MS 5. yüzyılda, her ikisi de geometrik teknikler kullanarak, Çinli matematikçiler Şablon:Pi'yi yedi basamağa yaklaştırırken, Hint matematikçiler beş basamaklı bir tahmin yaptı. Şablon:Pi için sonsuz seri'ye dayanan ilk hesaplama formülü, bin yıl sonra keşfedildi.Şablon:Sfn Bir dairenin çevresinin çapına oranını temsil etmek için Yunanca π harfinin bilinen en eski kullanımı 1706'da Galli matematikçi William Jones tarafından yapılmıştır.

Kalkülüs'ün icadı kısa sürede Şablon:Pi'nin yüzlerce basamağının hesaplanmasına yol açtı, bu tüm pratik bilimsel hesaplamalar için yeterliydi. Bununla birlikte, 20. ve 21. yüzyıllarda matematikçiler ve bilgisayar bilimcileri, artan hesaplama gücüyle birleştiğinde Şablon:Pi'nin ondalık gösterimini trilyonlarca basamağa genişleten yeni yaklaşımlar izlediler. Bu hesaplamalar, sayısal serileri hesaplamak için verimli algoritmaların geliştirilmesinin yanı sıra insanın rekor kırma arayışıyla motive edilir.Şablon:Sfn Kapsamlı hesaplamalar, süperbilgisayarları test etmek için de kullanılmıştır.

Tanımı daire ile ilgili olduğu için Şablon:Pi, trigonometri ve geometri'deki birçok formülde, özellikle daireler, elipsler ve kürelerle ilgili olanlarda bulunur. Ayrıca kozmoloji, fraktals, termodinamik, mekanik ve elektromanyetizma gibi bilimdeki diğer konulardaki formüllerde de bulunur. Modern matematiksel analizde, bunun yerine genellikle geometriye herhangi bir referans olmaksızın tanımlanır; bu nedenle, sayı teorisi ve istatistik gibi geometri ile çok az ilgisi olan alanlarda da görünür. Şablon:Pi'nin her yerde bulunması, onu bilimin içinde ve dışında en çok bilinen matematiksel sabitlerden biri yapar. Şablon:Pi'ye adanmış birkaç kitap yayınlandı ve Şablon:Pi'nin rakamlarının rekor kıran hesaplamaları genellikle haber manşetleriyle sonuçlanıyor.

Temel bilgiler

İsim

Matematikçiler tarafından bir çemberin çevresinin çapına oranını temsil etmek için kullanılan sembol küçük harf [[Pi (harf)|Yunanca harf Şablon:Pi]]'dir ve bazen pi olarak yazılır. İngilizcede Şablon:Pi, "pay" olarak telaffuz edilir (Şablon:IPAc-en Şablon:Respell). Matematiksel kullanımda, küçük harf Şablon:Pi, bir dizinin çarpımı anlamına gelen büyük harfli ve büyütülmüş karşılığı, (Şablon:Math gibi toplam anlamına gelen) Şablon:Math'dan ayırt edilir.

Şablon:Pi sembolünün seçimi [[#π sembolünün benimsenmesi|Şablon:Pi sembolünün benimsenmesi]] bölümünde tartışılmaktadır.

Tanım

Bir dairenin çevresi, çapının üç katından biraz fazladır. Tam orana Şablon:Pi denir.

Şablon:Pi genellikle bir daire'nin çevresi Şablon:Math ile çapı Şablon:Math) arasındaki oran olarak tanımlanır :Şablon:Sfn

$$\pi =\frac{C}{d}$$

Dairenin boyutuna bakılmaksızın Şablon:Math oranı sabittir. Örneğin, bir dairenin çapı başka bir dairenin iki katıysa, Şablon:Math oranını koruyarak çevresi de iki katına sahip olacaktır. Bu Şablon:Pi tanımı dolaylı olarak düz (Öklid) geometrisi kullanır; daire kavramı herhangi bir eğri (Öklid dışı) geometri'ye genişletilebilse de, bu yeni daireler artık Şablon:Math karşılamayacaktır.Şablon:Sfn

Burada, bir dairenin çevresi, dairenin çevre etrafındaki yay uzunluğu'dur; limit(kalkülüste bir kavram) kullanılarak geometriden bağımsız olarak resmi olarak tanımlanabilen bir niceliktir. Örneğin, birim çemberin üst yarısının yay uzunluğu Kartezyen koordinatlar'da Şablon:Math denklemiyle doğrudan hesaplanabilir, integral olarak:Şablon:Sfn

$$\pi =\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Bunun gibi bir integral, onu 1841'de doğrudan bir integral olarak tanımlayan Karl Weierstrass tarafından Şablon:Pi'nin tanımı olarak benimsendi.Şablon:Efn

Artık integral ilk analitik tanımda yaygın olarak kullanılmaz, çünkü, Şablon:Harvnb'nin açıkladığı gibi, diferansiyel kalkülüs üniversite müfredatında tipik olarak integral hesabından önce gelir, dolayısıyla ikincisine dayanmayan bir Şablon:Pi bir tanımının olması arzu edilir. Richard Baltzer'e dayanan ve Edmund Landau tarafından yaygınlaştırılan böyle bir tanım şöyledir: Şablon:Pi, kosinüs fonksiyonunun 0'a eşit olduğu en küçük pozitif sayının iki katıdır.Şablon:SfnŞablon:Sfn Şablon:Pi ayrıca sinüs fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu en küçük pozitif sayı ve sinüs fonksiyonunun ardışık sıfırları arasındaki farktır. Kosinüs ve sinüs, geometriden bağımsız olarak bir kuvvet serisi veya bir diferansiyel denklem çözümü olarak tanımlanabilir.

Benzer şekilde, Şablon:Pi, bir Şablon:Math karmaşık değişkeninin, karmaşık üsteli Şablon:Math nin özellikleri kullanılarak tanımlanabilir. Kosinüs gibi, karmaşık üstel de birkaç yoldan biriyle tanımlanabilir. Şablon:Math'nin bire eşit olduğu karmaşık sayılar kümesi, şu şekilde (hayali) bir aritmetik ilerlemedir:

$$\{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb{Z}\}$$

ve bu özelliğe sahip benzersiz bir pozitif gerçek sayı, Şablon:Pi vardır.Şablon:Sfn

Topoloji ve cebir gibi karmaşık matematiksel kavramlardan yararlanan aynı fikrin bir varyasyonu aşağıdaki teoremdir: Toplama modulo tam sayıları altındaki reel sayıların R/Z grubundan (çember grubu), mutlak değeri bir olan karmaşık sayıların çarpımsal grubuna, benzersiz (otomorfizma) bir sürekli izomorfizma vardır. Şablon:Pi sayısı, bu homomorfizmin türevinin büyüklüğünün yarısı olarak tanımlanır.

İrrasyonellik ve normallik

Şablon:Pi bir irrasyonel sayı'dır, yani iki tam sayının oranı olarak yazılamaz. Şablon:Math ve Şablon:Math gibi kesirler genellikle Şablon:Pi'ye yaklaşmak için kullanılır, ancak hiçbir bayağı kesir (tam sayıların oranı) tam değeri olamaz.Şablon:Sfn Şablon:Pi irrasyonel olduğundan, ondalık gösterimi içinde sonsuz sayıda basamak vardır ve sonsuz örüntü basamaklara yerleşmez. Şablon:Pi}'nin irrasyonel olduğunun birkaç kanıtı vardır; genellikle cebir gerektirirler ve reductio ad absurdum tekniğini kullanılır. Şablon:Pi'nin rasyonel sayılar ile yaklaşık olarak hesaplanabileceği derece kesin olarak bilinmiyor; tahminler, irrasyonalite ölçüsünün Şablon:Math veya Şablon:Math ölçüsünden büyük ama Liouville sayısı ölçüsünden küçük olduğunu ortaya koymuştur.

Şablon:Pi rakamlarının görünür bir örüntüsü yoktur ve normallik testleri dahil olmak üzere istatistiksel rastgelelik testlerini geçmiştir; tüm olası basamak dizileri (herhangi bir uzunluktaki) eşit sıklıkta göründüğünde, sonsuz uzunlukta bir sayı normal olarak adlandırılır. Şablon:Pi'nin normal olduğu varsayımı kanıtlanmadı veya çürütülmedi.Şablon:Sfn

Bilgisayarların icadından bu yana, üzerinde istatistiksel analiz yapmak için çok sayıda Şablon:Pi basamağı mevcuttu. Yasumasa Kanada, Şablon:Pi'nin ondalık basamakları üzerinde ayrıntılı istatistiksel analizler yaptı ve bunları normallikle tutarlı buldu; örneğin, 0 ila 9 arasındaki on hanenin ne kadar sıklıkta olduğu istatistiksel anlamlılık testlerine tabi tutuldu ve bir örüntüye dair hiçbir kanıt bulunamadı.Şablon:Sfn Herhangi bir rastgele basamak dizisi, sonsuz maymun teoremi ile rastgele olmayan görünen uzun alt diziler içerir. Bu nedenle, Şablon:Pi'nin rakam dizisi rastgelelik için istatistiksel testlerden geçtiğinden, ondalık gösteriminin 762. ondalık basamağından başlayan, altı ardışık 9'lu dizi gibi rastgele görünmeyebilecek bazı rakam dizileri içerir.Şablon:Sfn Bu, matematiksel folklor'da Richard Feynman'a atfen "Feynman noktası" olarak da adlandırılır ancak Feynman ile hiçbir bağlantısı bilinmemektedir.

Aşkınlık

Şablon:Pi bir aşkın sayı olduğu için, daireyi kareleştirme, klasik pergel ve cetvel kullanılarak sınırlı sayıda adımda mümkün değildir.

Şablon:Pi irrasyonel olmasının yanı sıra bir aşkın sayı'dır, bu da Şablon:Math gibi rasyonel katsayılı herhangi bir sabit olmayan polinom denklemi'nin çözümü olamayacağı anlamına gelir.Şablon:SfnŞablon:Efn

Şablon:Pi aşkınlığının iki önemli sonucu vardır: İlk olarak, Şablon:Pi, rasyonel sayılar ve kareköklerin veya n-inci köklerin (Şablon:Math veya Şablon:Math gibi) herhangi bir sonlu kombinasyonu kullanılarak ifade edilemez. İkincisi, hiçbir aşkın sayı pergel ve cetvel ile oluşturulamadığından, "daireyi kareleştirme" mümkün değildir. Başka bir deyişle, yalnızca pergel ve cetvel kullanarak, alanı belirli bir dairenin alanına tam olarak eşit olan bir kare oluşturmak imkansızdır. Bir daireyi kareleştirmek, klasik antik çağın önemli geometri problemlerinden biriydi. Modern zamanların amatör matematikçileri, matematiksel olarak imkansız olmasına rağmen, bazen daireyi kareleştirme ve başarı iddiasında bulunmaya çalıştılar.

Sonsuza giden kesirler

İrrasyonel bir sayı olarak Şablon:Pi, bayağı kesir olarak gösterilemez. Ancak Şablon:Pi dahil her sayı, sonsuza giden kesir adı verilen, sonsuz bir iç içe geçmiş kesirler serisi ile temsil edilebilir:

$$\pi =3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}}}}}}$$

Sürekli kesrin herhangi bir noktada kesilmesi, Şablon:Pi için rasyonel bir yaklaşım verir; bunlardan ilk dördü {Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math ve Şablon:Math tür. Bu sayılar, sabitin en iyi bilinen ve en çok kullanılan tarihsel yaklaşımları arasındadır. Bu şekilde üretilen her yaklaşım, en iyi rasyonel yaklaşımdır; yani, her biri aynı veya daha küçük paydaya sahip herhangi bir diğer kesirden Şablon:Pi'ye daha yakındır. Şablon:Pi aşkın olduğundan, tanım gereği cebirsel değildir ve bu nedenle ikinci dereceden irrasyonel olamaz. Bu nedenle, Şablon:Pi bir periyodik sonsuza giden kesir içeremez. Şablon:Pi için basit sonsuza giden kesir (yukarıda gösterilmiştir) başka herhangi bir bariz örüntü sergilemese de,Şablon:Sfn birkaç genelleştirilmiş sonsuza giden kesir sergiler, örneğin:

$$\begin{array}{cc}\pi & =3+\frac{1^2}{6+\frac{3^2}{6+\frac{5^2}{6+\frac{7^2}{6+\frac{9^2}{6+\ddots }}}}}=\frac{4}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\ddots }}}}}=\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\ddots }}}}}\end{array}$$

Yaklaşık değer ve basamaklar

Bazı pi yaklaşımları şunları içerir:

• Tamsayılar: 3
• Kesirler: Yaklaşık kesirler şunları içerir (artan doğruluk sırasına göre) Şablon:Sfrac, Şablon:Sfrac, Şablon:Sfrac, Şablon:Sfrac, Şablon:Sfrac, Şablon:Sfrac, and Şablon:Sfrac.

(Liste, Şablon:OEIS2C ve Şablon:OEIS2C'den seçilen terimlerdir.)

• Rakamlar: İlk 50 ondalık basamak Şablon:Gaps şeklindedir. Şablon:Sfn (see Şablon:OEIS2C)

Diğer sayı sistemlerindeki rakamlar

• İlk 48 2 tabanlı basamak (bit olarak adlandırılır) Şablon:Gaps (Şablon:OEIS2C'e bakınız) şeklindedir.
• On altılı sayı sistemi içindeki ilk 20 hane (16 tabanlı) Şablon:GapsŞablon:Sfn (Şablon:OEIS2C'e bakınız) şeklindedir.
• İlk beş Altmışlık sayı sistemi (60 tabanlı) basamak 3;8,29,44,0,47 şeklindedir. (see Şablon:OEIS2C)
• Üçlü sayı sistemi içindeki ilk 38 basamak Şablon:Gaps şeklindedir. (Şablon:OEIS2C'ye bakınız)

Karmaşık sayılar ve Euler özdeşliği

Şablon:Math sayısının hayali güçleri ile noktalar arasındaki ilişki, Sıfır noktasında merkezi olan birim çember üzerinde Euler formülü tarafından verilen karmaşık düzlem içinde

Herhangi bir karmaşık sayı, örneğin Şablon:Math, bir çift reel sayı kullanılarak ifade edilebilir. Kutupsal koordinat sisteminde, bir sayı (yarıçap veya r), z'nin karmaşık düzlemin sıfır noktasından olan mesafesini ve diğeri, (açı veya Şablon:Math) pozitif reel eksenden, saat yönünün tersine dönüşü temsil etmek için kullanılır:Şablon:Sfn

$$z=r\cdot (\cos \phi +i\sin \phi ),$$

burada Şablon:Math, Şablon:Math = −1'i sağlayan hayali birimdir. Karmaşık analizde Şablon:Pi'nin sık görülmesi, Euler formülüyle tanımlandığı gibi, karmaşık bir değişkenin üstel fonksiyonunun davranışıyla ilgili olabilir:

$$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi ,$$

burada [[e sayısı|Şablon:Math sabiti]], doğal logaritmanın tabanıdır. Bu formül,Şablon:Math'nin hayali üsleri ile, karmaşık düzlemin sıfır noktası merkezli birim çember üzerindeki noktalar arasında, bir karşılık olma ilişkisi kurar. Euler formülünde Şablon:Math = Şablon:Pi eşitliği, beş önemli matematiksel sabit içerdiği için matematikte önemsenen Euler özdeşliği ile sonuçlanır:

$$e^{i\pi }+1=0.$$

Şablon:Math eşitliğini sağlayan Şablon:Math sayıda farklı karmaşık sayı vardır ve bunlara "birliğin Şablon:Math'inci kökleri" Şablon:Sfn denir ve aşağıdaki formülle verilir:

$$e^{2\pi ik/n}(k=0,1,2,\dots ,n-1).$$

Geçmiş

Antik Çağ

Milattan önceye tarihlenen Şablon:Pi için en iyi bilinen yaklaşımlar, iki ondalık basamağa kadar doğruydu; bu, özellikle birinci bin yılın ortalarında, Çin matematiği'nde yedi ondalık basamak doğruluğuna kadar geliştirildi. Bundan sonra, geç Orta Çağ dönemine kadar daha fazla ilerleme kaydedilmedi.

Şablon:Pi'nin en eski yazılı tahminleri, Babil ve Mısır'da bulunur, her ikisi de gerçek değerin yüzde biri dahilindedir. Babil'de, MÖ 1900-1600 tarihli bir kil tablet, ima yoluyla Şablon:Pi'yi şu şekilde ele alan geometrik bir ifadeye sahiptir: Şablon:Sfrac=3.125.Şablon:Sfn Mısır'da, MÖ 1650 dolaylarına tarihlenen ancak MÖ 1850 tarihli bir belgeden kopyalanan Rhind Papirüsü, Şablon:Pi'yi Şablon:Kayma 3.16. olarak ele alan bir dairenin alanı için bir formüle sahiptir.Şablon:Sfn Flinders Petrie gibi bazı piramidologlar, Büyük Giza Piramidi'nin Şablon:Pi ile ilgili oranlarla inşa edildiğini teorileştirmiş olsalar da, bu teori bilim adamları tarafından geniş çapta kabul görmemektedir. MÖ birinci veya ikinci binyıldan sözlü bir geleneğe tarihlenen Hint matematiği'nin Shulba Sutraları'nda, yaklaşık 3.08831, 3.08833, 3.004, 3 veya 3.125 olarak çeşitli şekillerde yorumlanan yaklaşık değerler verilmiştir.

Çokgen yaklaşım dönemi

Şablon:Pi, çevrelenmiş ve içine çember çizilmiş çokgenlerin çevreleri hesaplanarak tahmin edilebilir.

Archimedes, Şablon:Pi'ye yaklaşmak için poligonal yaklaşımı geliştirdi.

Şablon:Pi değerini titizlikle hesaplamak için kaydedilen ilk algoritma, Yunan matematikçi Arşimet tarafından MÖ 250 civarında tasarlanan çokgenleri kullanan geometrik bir yaklaşımdı.Şablon:Sfn Bu çokgen algoritma 1.000 yılı aşkın bir süre hakim oldu ve sonuç olarak Şablon:Pi bazen Arşimet sabiti olarak anılır.Şablon:Sfn Arşimet, bir dairenin içine ve dışına düzgün bir altıgen çizerek ve 96 kenarlı bir düzgün çokgene ulaşana kadar kenar sayısını art arda ikiye katlayarak Şablon:Pi'nin üst ve alt sınırlarını hesapladı. Bu poligonların çevresini hesaplayarak Şablon:Math (yani Şablon:Math) olduğunu kanıtladı. Arşimet'in Şablon:Math üst sınırı, Şablon:Pi'nin Şablon:Math'ye eşit olduğuna dair yaygın bir popüler inanca yol açmış olabilir.Şablon:Sfn MS 150 civarında, Yunan-Roma bilim adamı Batlamyus, Almagest'inde, Arşimet'ten veya Apollonios'tan almış olabileceği 3.1416'lık bir Şablon:Pi değeri verdi.Şablon:SfnŞablon:Sfn Çokgen algoritmaları kullanan matematikçiler 1630'da Şablon:Pi'nin 39 basamağına ulaştılar, bu rekor yalnızca 1699'da sonsuz seriler kullanıldığında 71 basamağa ulaştığı zaman kırıldı.

Eski Çin'de, Şablon:Pi değerleri 3,1547 (MS 1 civarında), Şablon:Math (MS 100, yaklaşık 3,1623) ve Şablon:Math}}'i (3. yüzyıl, yaklaşık 3.1556) içeriyordu.Şablon:Sfn MS 265 civarında, Wei Krallığı matematikçisi Liu Hui, çokgen tabanlı yinelemeli bir algoritma oluşturdu ve bunu 3.1416'lık bir π değeri elde etmek için 3.072 kenarlı bir çokgenle kullandı. MS 265 civarında, Wei Hanedanı matematikçisi Liu Hui bir çokgen tabanlı yinelemeli algoritma oluşturdu ve Şablon:Pi'nin 3.1416 değerini elde etmek için bunu 3.072-kenarlı bir çokgenle kullandı.Şablon:Sfn Liu daha sonra Şablon:Pi'yi hesaplamak için daha hızlı bir yöntem icat etti ve ardışık çokgenlerin alanındaki farklılıkların 4 katsayılı bir geometrik seri oluşturmasından yararlanarak 96 kenarlı bir çokgenle 3.14 değerini elde etti. Çinli matematikçi Zu Chongzhi, MS 480 civarında, Şablon:Math olduğunu hesapladı ve 12.288 kenarlı bir çokgene uygulanan Liu Hui'nin algoritması kullanarak Şablon:Math = 3,14159292035... ve Şablon:Math = 3.142857142857..., yaklaşımlarını önerdi. Bunları sırasıyla Milü (''yakın oran") ve Yuelü ("yaklaşık oran") olarak adlandırdı. İlk yedi ondalık basamağı için doğru bir değerle, bu değer, sonraki 800 yıl boyunca mevcut olan en doğru π yaklaşımı olarak kaldı.Şablon:Sfn

Hint astronom Aryabhata Āryabhaṭīya (MS 499) adlı eserinde 3.1416 değerini kullanmıştır.Şablon:Sfn MÖ 1220'de Fibonacci, Arşimet'ten bağımsız olarak çokgen bir yöntem kullanarak 3.1418'i hesapladı.Şablon:Sfn İtalyan yazar Dante görünüşe göre Şablon:Math değerini kullandı.Şablon:Sfn

İranlı astronom Jamshīd al-Kāshī 1424'te 3×2²⁸ kenarlı bir çokgen kullanarak kabaca 16 ondalık basamağa eşdeğer olan 9 altmışlık basamak üretti ve bu değer yaklaşık 180 yıl dünya rekoru olarak kaldı.Şablon:Sfn 1579'da Fransız matematikçi François Viète, 3×2¹⁷ kenarlı bir çokgenle 9 basamak elde etti.Şablon:Sfn Flaman matematikçi Adriaan van Roomen 1593'te 15 ondalık basamağa ulaştı.Şablon:Sfn 1596'da Hollandalı matematikçi Ludolph van Ceulen 20 haneye ulaştı, daha sonra bu rekoru 35 haneye çıkardı (sonuç olarak Şablon:Pi, 20. yüzyılın başlarına kadar Almanya'da "Ludolphian sayısı" olarak adlandırılıyordu).Şablon:Sfn Hollandalı bilim adamı Willebrord Snellius 1621'de 34 haneye ulaştı,Şablon:Sfn ve Avusturyalı gök bilimci Christoph Grienberger, 10⁴⁰ kenar kullanarak 1630'da 38 haneye ulaştı.. Christiaan Huygens was able to arrive at 10 decimal places in 1654 using a slightly different method equivalent to Richardson extrapolation.

Sonsuz dizi

Şablon:Pi hesaplamasında, 16. ve 17. yüzyıllarda sonsuz seriler tekniklerinin geliştirilmesiyle devrim yaratıldı. Sonsuz bir seri, sonsuz bir dizi terimlerinin toplamıdır. Sonsuz seriler, matematikçilerin Şablon:Pi'yi Arşimet ve geometrik teknikler kullanan diğerlerinden çok daha yüksek bir hassasiyetle hesaplamasına izin verdi. Sonsuz seriler Şablon:Pi için James Gregory ve Gottfried Wilhelm Leibniz gibi Avrupalı matematikçiler tarafından kullanılmasına rağmen, yaklaşım 14. veya 15. yüzyılda bir zaman Kerala astronomi ve matematik okulunda ortaya çıktı.Şablon:Sfn MS 1500 civarında, Nilakantha Somayaji tarafından Tantrasamgraha'daki Sanskrit ayette Şablon:Pi'yi hesaplamak için kullanılabilecek sonsuz bir dizinin yazılı bir açıklaması ortaya kondu. Seriler kanıt olmadan sunulur, ancak kanıtlar MS 1530 civarında daha sonraki bir çalışma olan Yuktibhāṣā da sunulur. Sinüs (Nilakantha'nın Madhava'ya atfettiği), kosinüs ve artık bazen Madhava serisi olarak anılan arktanjant serileri dahil olmak üzere birkaç sonsuz seri açıklanmıştır. Arktanjant serisine bazen Gregory serisi veya Gregory-Leibniz serisi denir. Madhava, Şablon:Pi'yi 1400 yılı civarında 11 haneye kadar tahmin etmek için sonsuz seriler kullandı.

1593'te François Viète, şimdi Viète'nin formülü olarak bilinen, sonsuz bir çarpım olan (daha tipik olarak π hesaplamalarında kullanılan sonsuz bir toplam yerine) aşağıdaki formülü yayınladı:Şablon:Sfn

$$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$$

1655'te John Wallis, aynı şekilde sonsuz bir çarpım olan, şimdi Wallis çarpımı olarak bilinen aşağıdaki formülü yayınladı:

$$\frac{\pi }{2}=(\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3})\cdot (\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5})\cdot (\frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7})\cdot (\frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9})\cdots$$

Isaac Newton Şablon:Pi'yi 15 haneye kadar hesaplamak için sonsuz seri kullandı, daha sonra "Bu hesaplamaları kaç rakama kadar yaptığımı size söylemeye utanıyorum" yazdı.

1660'larda İngiliz bilim adamı Isaac Newton ve Alman matematikçi Gottfried Wilhelm Leibniz, Şablon:Pi'ye yaklaşmak için birçok sonsuz serinin geliştirilmesine yol açan kalkülüs'ü keşfetti. Newton'un kendisi, 1665 veya 1666'da Şablon:Pi'nin 15 basamaklı bir yaklaşımını hesaplamak için bir arksinüs serisi kullandı, daha sonra bununla ilgili olarak "O zamanlar başka bir işim olmadığı için, bu hesaplamaları kaç rakama kadar yaptığımı size söylemeye utanıyorum" yazdı.

1671'de James Gregory bağımsız olarak, 1673'te Leibniz'te, arktanjant için Taylor serisi genişletmesini keşfetti:

$$\arctan z=z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots$$

Bazen Gregory–Leibniz serisi olarak adlandırılan bu dizi, Şablon:Math ile değerlendirildiğinde Şablon:Math'e eşittir. Ancak Şablon:Math için pratik olmayacak şekilde yavaş yakınsar (yani, cevaba çok yavaş yaklaşır) ve her ek basamağı hesaplamak için yaklaşık on kat daha fazla terim gerekir.

1699'da İngiliz matematikçi Abraham Sharp, Şablon:Pi'yi 71 haneye kadar hesaplamak için $z=\frac{1}{\sqrt{3}}$ eşitliği ile Gregory–Leibniz serisini kullandı ve çokgen bir algoritma ile belirlenen 39 haneli önceki rekoru kırdı.Şablon:Sfn

1706'da John Machin, çok daha hızlı yakınsayan bir algoritma üretmek için Gregory-Leibniz serisini kullandı:Şablon:Sfn

$$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}.$$

Machin bu formülle Şablon:Pi'nin 100 basamağına ulaştı. Diğer matematikçiler, Şablon:Pi basamaklarını hesaplamada birkaç ardışık rekor için kullanılan, şimdi Machin benzeri formül olarak bilinen varyantlar yarattı.

Isaac Newton, 1684'te Gregory-Leibniz serisinin yakınsamasını hızlandırdı (yayınlanmamış bir çalışmada; diğerleri sonucu bağımsız olarak keşfetti).

$\arctan x=\frac{x}{1+x^2}+\frac{2}{3}\frac{x^3}{(1+x^2{)}^2}+\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}\frac{x^5}{(1+x^2{)}^3}+\cdots$

Leonhard Euler bu seriyi 1755 diferansiyel hesabı ders kitabında popüler hale getirdi ve daha sonra bunu Machin benzeri formüllerle kullandı, örneğin $\frac{\pi }{4}=5\arctan \frac{1}{7}+2\arctan \frac{3}{77},$ ile bir saatte Şablon:Pi'nin 20 basamağını hesapladı.

Machin benzeri formüller, bilgisayar çağına kadar Şablon:Pi'yi hesaplamak için en iyi bilinen yöntem olarak kaldı ve 250 yıl boyunca rekorlar kırmak için kullanıldı ve 1946'da Daniel Ferguson tarafından 620 basamaklı bir yaklaşımla sonuçlandı. (bir hesaplama cihazının yardımı olmadan elde edilen en iyi yaklaşım).Şablon:Sfn

1844'te, Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'un kontrolünde kafasında Şablon:Pi'nin 200 ondalığını hesaplamak için bir Machin benzeri formül kullanan Zacharias Dase tarafından bir rekor kırıldı.

1853'te İngiliz matematikçi William Shanks, Şablon:Pi'yi 607 basamak olarak hesapladı, ancak 528. basamakta bir hata yaparak sonraki tüm basamakların yanlış olmasına yol açtı. 1873'te ek 100 basamak hesaplayarak toplamı 707'ye çıkarsa da, önceki hatası tüm yeni basamakların da yanlış hesaplanmasına yol açtı.

Yakınsama oranı

Şablon:Pi için bazı sonsuz seriler diğerlerinden daha hızlı yakınsar. Given the choice of two infinite series for Şablon:Pi, mathematicians will generally use the one that converges more rapidly because faster convergence reduces the amount of computation needed to calculate Şablon:Pi to any given accuracy. Şablon:Pi için basit bir sonsuz seri Gregory–Leibniz serisidir:Şablon:Sfn

$$\pi =\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}+\frac{4}{13}-\cdots$$

Bu sonsuz dizinin tek tek terimleri toplama eklendikçe, toplam kademeli olarak Şablon:Pi'ye yaklaşır ve istenildiği kadar Şablon:Pi'ye yaklaşabilir (yeterli sayıda terim ile). Yine de oldukça yavaş yakınsar - 500.000 terimden sonra, Şablon:Pi'nin yalnızca beş doğru ondalık basamağını üretir.

Şablon:Pi için (15. yüzyılda Nilakantha tarafından yayınlanan) Gregory-Leibniz serisinden daha hızlı yakınsayan sonsuz bir seri:Şablon:Sfn

$$\pi =3+\frac{4}{2\times 3\times 4}-\frac{4}{4\times 5\times 6}+\frac{4}{6\times 7\times 8}-\frac{4}{8\times 9\times 10}+\cdots$$

Aşağıdaki tablo, bu iki serinin yakınsama oranlarını karşılaştırmaktadır:

Şablon:Pi için sonsuz seriler	1. terimden sonra	2. terimden sonra	3. terimden sonra	4. terimden sonra	5. terimden sonra	yakınsar:
$\pi =\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}+\frac{4}{13}+\cdots$	4.0000	2.6666 ...	3.4666 ...	2.8952 ...	3.3396 ...	Şablon:Pi = 3.1415 ...
$\pi =3+\frac{4}{2\times 3\times 4}-\frac{4}{4\times 5\times 6}+\frac{4}{6\times 7\times 8}-\cdots$	3.0000	3.1666 ...	3.1333 ...	3.1452 ...	3.1396 ...

Beş terimden sonra, Gregory-Leibniz serisinin toplamı, Şablon:Pi'nin doğru değerinin 0,2'si içindeyken, Nilakantha'nın serisinin toplamı doğru değerinin 0,002'si içindedir. Nilakantha'nın serisi daha hızlı yakınsar ve Şablon:Pi'nin basamaklarını hesaplamak için daha kullanışlıdır. Daha da hızlı yakınsayan seriler arasında Machin'in serisi ve Chudnovsky'nin serisi yer alır, ikincisi terim başına 14 doğru ondalık basamak üretir.

İrrasyonellik ve aşkınlık

Şablon:Pi ile ilgili tüm matematiksel gelişmeler, tahminlerin doğruluğunu artırmayı amaçlamadı. Euler 1735'te Basel problemini ters karelerin toplamının tam değerini bularak çözdüğünde, Şablon:Pi ile asal sayılar arasında bir bağlantı kurdu ve bu daha sonra Riemann zeta işlevi çalışmasını geliştirmeye katkıda bulundu.

$$\frac{{\pi }^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots$$

İsviçreli bilim adamı Johann Heinrich Lambert 1768'de Şablon:Pi'nin irrasyonel olduğunu, yani herhangi iki tam sayının bölümüne eşit olmadığını kanıtladı.Şablon:Sfn Lambert'in ispatı, tanjant fonksiyonunun sürekli kesir temsilinden yararlandı. Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre, 1794'te Şablon:Pi²'nin de irrasyonel olduğunu kanıtladı. 1882'de Alman matematikçi Ferdinand von Lindemann, Şablon:Pi'nin aşkın olduğunu kanıtladı ve hem Legendre hem de Euler tarafından yapılan bir varsayımı doğruladı.Şablon:Sfn Hardy ve Wright, "kanıtların daha sonra Hilbert, Hurwitz ve diğer yazarlar tarafından değiştirilip basitleştirildiğini" belirtir.

Şablon:Pi sembolünün benimsenmesi

Şablon:Çoklu resim İlk kullanımlarda, [[Pi (harf)|Yunan harfi Şablon:Pi]], bir dairenin yarıçevresini (Latincede semiperipheria) ifade etmek için kullanılmıştır. ve daire sabitlerini oluşturmak için [[delta (harf)|Şablon:Mvar]] (çap veya yarı çap için) veya [[rho|Şablon:Mvar]] (yarıçap için) ile oranlarda birleştirildi. (O zamandan önce, matematikçiler bunun yerine bazen Şablon:Mvar veya Şablon:Mvar gibi harfleri kullanıyorlardı.Şablon:Sfn) Kaydedilen ilk kullanım Oughtred's Şablon:Nobr şeklindedir ve Şablon:Dil'nin 1647 ve sonraki baskılarında çevre ve çap oranını ifade etmek için kullanmıştır.Şablon:Sfn Barrow Şablon:Math sabitini temsil etmek için aynı şekilde Şablon:Nobr kullandı. Gregory bunun yerine Şablon:Nobr'yi Şablon:Math'i temsil etmek için kullandı.

Bir çemberin çevresinin çapına oranını temsil etmek için tek başına Yunanca Şablon:Pi harfinin bilinen en eski kullanımı Galli matematikçi William Jones'un 1706 tarihli Şablon:Dil adlı çalışmasında yapılmıştır; veya Matematiğe Yeni Bir Giriş."Şablon:Sfn Yunan harfi s. 243 te, "Çevre (Şablon:Pi), yarıçapı 1 olan bir daire için hesaplanmıştır." ifadesinde kullanılmıştır. Ancak Jones, Şablon:Pi için denklemlerinin "gerçekten dahiyane Bay John Machin'in hazır kaleminden" olduğunu yazar ve bu da Machin'in Jones'tan önce Yunanca harfi kullanmış olabileceği yönünde spekülasyonlara yol açar.Şablon:Sfn Jones'un gösterimi diğer matematikçiler tarafından hemen benimsenmedi, kesir gösterimi 1767'ye kadar hâlâ kullanılıyordu.

Euler, 1727 tarihli Havanın Özelliklerini Açıklayan Deneme ile başlayarak tek harfli formu kullanmaya başladı, ancak, bu ve sonraki bazı yazılarda çevrenin yarıçapa oranı olan Şablon:Math kullanmıştı. Euler Şablon:Kayma'ü ilk olarak 1736 tarihli Mechanica adlı çalışmasında kullandı ve geniş çapta okunan 1748 tarihli Şablon:Dil adlı çalışmasında devam etti (şöyle yazdı: "Kısa olması adına bu sayıyı Şablon:Pi olarak yazacağız; böylece Şablon:Pi şuna eşittir: yarıçapı Şablon:Math olan bir dairenin çevresinin yarısı"). Euler, Avrupa'daki diğer matematikçilerle yoğun bir şekilde yazıştığı için, Yunan harfinin kullanımı hızla yayıldı ve uygulama bundan sonra Batı dünyasında evrensel olarak benimsendi, ancak tanım 1761 gibi geç bir tarihe kadar hâlâ Şablon:Math ve Şablon:Math arasında değişiyordu.

Daha fazla basamak için modern arayış

Bilgisayar çağı ve yinelemeli algoritmalar

20. yüzyılın ortalarında bilgisayarların gelişimi, Şablon:Pi rakamlarının aranmasında yeniden devrim yarattı. Matematikçiler John Wrench ve Levi Smith, 1949'da bir masa hesap makinesi kullanarak 1.120 haneye ulaştı.Şablon:Sfn George Reitwiesner ve John von Neumann liderliğindeki bir ekip ters teğet (arctan) sonsuz serisini kullanarak aynı yıl ENIAC bilgisayar üzerinde 70 saatlik bilgisayar çalışması gerektiren bir hesaplamayla 2.037 basamak elde etti.Şablon:Sfn Her zaman bir arctan serisine dayanan rekor, 1973'te 1 milyon haneye ulaşılana kadar art arda kırıldı (1957'de 7.480 hane; 1958'de 10.000 hane; 1961'de 100.000 hane).Şablon:Sfn

1980 civarında iki ek gelişme, Şablon:Pi'yi hesaplama yeteneğini bir kez daha hızlandırdı. Birincisi, sonsuz serilerden çok daha hızlı olan Şablon:Pi hesaplaması için yeni yinelemeli algoritmaların keşfi; ve ikincisi, büyük sayıları çok hızlı bir şekilde çarpabilen hızlı çarpma algoritmalarının icadı.

Birincisi, Şablon:Pi hesaplaması için sonsuz serilerden çok daha hızlı olan yeni iteratif algoritmaların keşfi; ve ikincisi, büyük sayıları çok hızlı bir şekilde çarpabilen hızlı çarpma algoritmaları'nın icadı.Şablon:Sfn Bu tür algoritmalar modern Şablon:Pi hesaplamalarında özellikle önemlidir çünkü bilgisayarın zamanının çoğu çarpmaya ayrılmıştır.Şablon:Sfn Bunlar arasında Karatsuba algoritması, Toom-Cook çarpması ve Fourier dönüşümü tabanlı yöntemler bulunur.Şablon:Sfn

Yinelemeli algoritmalar, 1975-1976'da fizikçi Eugene Salamin ve bilim adamı Richard Brent tarafından bağımsız olarak yayınlandı.Şablon:Sfn Bunlar sonsuz serilere güvenmekten kaçınır. Yinelemeli bir algoritma, her yinelemede önceki adımların çıktılarını girdi olarak kullanarak belirli bir hesaplamayı tekrarlar ve her adımda istenen değere yaklaşan bir sonuç üretir. Yaklaşım aslında 160 yılı aşkın bir süre önce Carl Friedrich Gauss tarafından şu anda aritmetik-geometrik ortalama yöntemi (AGM yöntemi) veya Gauss–Legendre algoritması olarak adlandırılan yöntemle icat edildi.Şablon:Sfn Salamin ve Brent tarafından değiştirildiği şekliyle, Brent-Salamin algoritması olarak da anılır.

Yinelemeli algoritmalar, sonsuz dizi algoritmalarından daha hızlı oldukları için 1980'den sonra yaygın olarak kullanıldı: sonsuz diziler tipik olarak birbirini izleyen terimlerde doğru basamak sayısını artırırken, yinelemeli algoritmalar genellikle her adımda doğru basamak sayısını "çarpar". Örneğin, Brent-Salamin algoritması, her yinelemede basamak sayısını ikiye katlar.

1984'te John ve Peter Borwein kardeşler, her adımdaki basamak sayısını dört katına çıkaran yinelemeli bir algoritma ürettiler; ve 1987'de, her adımda basamak sayısını beş kat artıran bir algoritma. Yinelemeli yöntemler, Japon matematikçi Yasumasa Kanada tarafından 1995 ve 2002 yılları arasında Şablon:Pi hesaplaması için çeşitli rekorlar kırmak için kullanıldı. Bu hızlı yakınsamanın bir bedeli var: yinelemeli algoritmalar, sonsuz serilerden önemli ölçüde daha fazla bellek gerektirir.

Şablon:Pi sayısını hesaplama nedenleri

Matematikçiler yeni algoritmalar keşfettikçe ve bilgisayarlar kullanılabilir hale geldikçe, Şablon:Pi'nin bilinen ondalık basamaklarının sayısı önemli ölçüde arttı. Dikey ölçek logaritmiktir.

Şablon:Pi içeren çoğu sayısal hesaplama için, bir avuç rakam yeterli kesinlik sağlar. Jörg Arndt ve Christoph Haenel'e göre, çoğu kozmolojik hesaplamayı yapmak için otuz dokuz basamak yeterlidir, çünkü gözlemlenebilir evrenin çevresini bir atom hassasiyetiyle hesaplamak için gereken doğruluk budur. Hesaplamalı yuvarlama hatalarını telafi etmek için gereken ek basamakları hesaba katan Arndt, herhangi bir bilimsel uygulama için birkaç yüz basamağın yeterli olacağı sonucuna varır. Buna rağmen, insanlar Şablon:Pi'yi binlerce ve milyonlarca basamaklı olarak hesaplamak için yoğun bir şekilde çalıştılar. Bu çaba kısmen insanların rekor kırma dürtüsüne atfedilebilir ve Şablon:Pi ile elde edilen bu tür başarılar genellikle dünya çapında manşetlere konu olur. Süper bilgisayarları test etme, sayısal analiz algoritmalarını test etme (yüksek hassasiyetli çarpma algoritmaları dahil); ve saf matematiğin kendisinde, Şablon:Pi'nin rakamlarının rastgeleliğini değerlendirmek için veri sağlar.Şablon:Sfn

Hızlı yakınsak seriler

Srinivasa Ramanujan, Hindistan'da izole bir şekilde çalışarak Şablon:Pi hesaplaması için pek çok yenilikçi seri üretti.

Modern Şablon:Pi hesap makineleri, yalnızca yinelemeli algoritmalar kullanmaz. 1980'lerde ve 1990'larda yinelemeli algoritmalar kadar hızlı ancak daha basit ve daha az bellek kullanan yeni sonsuz seriler keşfedildi. Hızlı yinelemeli algoritmalar, 1914'te Hint matematikçi Srinivasa Ramanujan Şablon:Pi için zarafetleri, matematiksel derinlikleri ve hızlı yakınsamalarıyla dikkat çeken düzinelerce yenilikçi yeni formül yayınladığında öngörülmüştü.Modüler denklemlere dayanan formüllerinden biri,

$$\frac{1}{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{k{!}^4\left(396^{4k}\right)}.$$

Bu seri, Machin'in formülü de dahil olmak üzere çoğu arctan serisinden çok daha hızlı yakınsar. Bill Gosper, 1985'te 17 milyon basamaklı bir rekor kırarak Şablon:Pi hesaplamasındaki ilerlemeler için bunu ilk kullanan kişiydi. Ramanujan'ın formülleri, Borwein kardeşler (Jonathan ve Peter) ve Chudnovsky kardeşler tarafından geliştirilen modern algoritmaları öngörüyordu. 1987'de geliştirilen Chudnovsky formülü,

$$\frac{1}{\pi }=\frac{\sqrt{10005}}{4270934400}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!k{!}^3(-640320{)}^{3k}}.$$

Terim başına yaklaşık 14 basamak Şablon:Pi üretir ve birkaç kayıt ayarı Şablon:Pi hesaplaması için kullanılmıştır. Bunlar arasında 1989'da Chudnovsky kardeşler tarafından 1 milyar (10⁹) haneyi aşan ilk rakamlar, 2011'de Alexander Yee ve Shigeru Kondo tarafından 10 trilyon (10¹³) hane ve 2022'de Emma Haruka Iwao tarafından 100 trilyon hane yer alıyor. Benzer formüller için ayrıca bkz. Ramanujan–Sato serisi

2006'da matematikçi Simon Plouffe, aşağıdaki şablona uygun olarak Şablon:Pi için birkaç yeni formül oluşturmak için tamsayı ilişki algoritması PSLQ'yu kullandı:

$${\pi }^k=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^k}(\frac{a}{q^n-1}+\frac{b}{q^{2n}-1}+\frac{c}{q^{4n}-1}),$$

burada Şablon:Math eşittir Şablon:Math (Gelfond sabiti), Şablon:Math tek sayıdır ve Şablon:Math Plouffe'un hesapladığı belirli rasyonel sayılardır.

Monte Carlo yöntemleri

Şablon:Çoklu resim Birden fazla rastgele denemenin sonuçlarını değerlendiren Monte Carlo yöntemleri, Şablon:Pi'nin yaklaşık değerlerini oluşturmak için kullanılabilir. Buffon'un iğnesi böyle bir tekniktir: Şablon:Math uzunluğundaki bir iğne, Şablon:Math birim aralıklarla paralel çizgilerin çizildiği bir yüzey üzerine Şablon:Math kez düşürülürse ve bu seferlerin Şablon:Math tanesi bir çizgiyi geçerek durursa (x > 0), o zaman sayımlara göre Şablon:Pi yaklaşık olarak hesaplanabilir:

$$\pi \approx \frac{2n\ell }{xt}.$$

Şablon:Pi'yi hesaplamak için başka bir Monte Carlo yöntemi, kare içine çizilmiş bir daire çizmek ve kareye rastgele noktalar yerleştirmektir. Daire içindeki noktaların toplam nokta sayısına oranı yaklaşık olarak Şablon:Math olacaktır.

200 adımlı beş rastgele yürüyüş. W₂₀₀ mutlak değeri için örnek ortalama Şablon:Math ve dolayısıyla Şablon:Math Şablon:Pi'nin Şablon:Math dahilindedir.

Olasılığı kullanarak Şablon:Pi'yi hesaplamanın başka bir yolu, bir dizi (adil) yazı tura atmasıyla oluşturulan rastgele bir yürüyüşle başlamaktır: eşit olasılıklarla Şablon:Math olacak şekilde bağımsız rassal değişkenler Şablon:Math. İlişkili rastgele yürüyüş

$$W_n=\sum _{k=1}^n{X}_k$$

böylece her Şablon:Mvar için, Şablon:Math, kaydırılmış ve ölçeklendirilmiş bir binom dağılımı'ndan çizilir. Şablon:Mvar değiştikçe, Şablon:Math (ayrık) bir stokastik süreci tanımlar. O zaman Şablon:Pi şu şekilde hesaplanabilir:

$$\pi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2n}{E[|W_n|{]}^2}.$$

Bu Monte Carlo yöntemi, çemberlerle herhangi bir ilişkiden bağımsızdır ve aşağıda tartışılan merkezî limit teoremi'nin bir sonucudur.

Şablon:Pi'ye yaklaşmak için bu Monte Carlo yöntemleri, diğer yöntemlere kıyasla çok yavaştır ve elde edilen tam basamak sayısı hakkında herhangi bir bilgi sağlamaz. Bu nedenle, hız veya doğruluk istendiğinde asla Şablon:Pi'ye yaklaşmak için kullanılmazlar.

Spigot algoritmaları

1995'te Şablon:Pi'ye yeni araştırma yolları açan iki algoritma keşfedildi. Musluktan damlayan su gibi, hesaplandıktan sonra tekrar kullanılmayan Şablon:Pi'nin tek basamaklarını ürettikleri için musluk algoritmaları olarak adlandırılırlar.Şablon:Sfn Bu, nihai sonuç üretilene kadar tüm ara basamakları tutan ve kullanan sonsuz seri veya yinelemeli algoritmaların tersidir.Şablon:Sfn

Matematikçiler Stan Wagon ve Stanley Rabinowitz 1995'te basit bir musluk algoritması ürettiler.Şablon:Sfn Hızı, arctan algoritmalarıyla karşılaştırılabilir, ancak yinelemeli algoritmalar kadar hızlı değildir.Şablon:Sfn

Başka bir musluk algoritması olan BBP rakam çıkarma algoritması, 1995 yılında Simon Plouffe tarafından keşfedildi:

$$\pi =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16^k}(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6}).$$

Bu formül, kendisinden önceki diğerlerinin aksine, önceki tüm basamakları hesaplamadan Şablon:Pi'nin herhangi bir onaltılık basamağını üretebilir.Şablon:Sfn Bireysel ikili basamaklar, bireysel onaltılık basamaklardan çıkarılabilir ve sekizlik basamaklar, bir veya iki onaltılık basamaktan çıkarılabilir. Algoritmanın varyasyonları keşfedildi, ancak ondalık basamakları hızla üreten hiçbir basamak çıkarma algoritması henüz bulunamadı. Rakam çıkarma algoritmalarının önemli bir uygulaması, kayıt Şablon:Pi hesaplamalarının yeni iddialarını doğrulamaktır: Yeni bir kayıt talep edildikten sonra, ondalık sonuç onaltılığa dönüştürülür ve ardından sona yakın birkaç rastgele onaltılık basamağı hesaplamak için bir basamak çıkarma algoritması kullanılır; eşleşirlerse, bu, tüm hesaplamanın doğru olduğuna dair bir güven ölçüsü sağlar.

1998 ve 2000 yılları arasında, dağıtılmış bilgi işlem projesi PiHex, 0 olduğu ortaya çıkan π'nin katrilyonuncu (10¹⁵th) bitini hesaplamak için Bellard'ın formülünü (BBP algoritmasının bir modifikasyonu) kullandı. Eylül 2010'da bir Yahoo! çalışanı şirketin Hadoop uygulamasını 23 günlük bir süre boyunca bin bilgisayarda iki katrilyonuncu (2×10¹⁵th) bitte 256 bit Şablon:Pi'yi hesaplamak için kullandı ki bu yine sıfırdır.

Matematikteki rol ve karakterizasyonlar

Şablon:Pi daire ile yakından ilişkili olduğu için geometri ve trigonometri alanlarındaki birçok formülde, özellikle daireler, küreler veya elipslerle ilgili olanlarda bulunur. İstatistik, fizik, Fourier analizi ve sayı teorisi gibi diğer bilim dalları da bazı önemli formüllerinde Şablon:Pi'yi içerir.

Geometri ve trigonometri

Dairenin alanı gölgeli alanın Şablon:Pi katına eşittir. birim çember'in alanı Şablon:Pi'dir.

Şablon:Pi, elips, küre, koni ve simit (geometri) gibi dairelere dayalı geometrik şekillerin alan ve hacim formüllerinde görünür. Şablon:Pi içeren daha yaygın formüllerden bazıları aşağıdadır.

• Yarıçapı Şablon:Math olan bir çemberin çevresi Şablon:Math'dir.
• Yarıçapı Şablon:Math olan dairenin alanı Şablon:Math'dir.
• Yarı büyük ekseni Şablon:Math ve yarı küçük ekseni Şablon:Math olan bir elipsin alanı Şablon:Math'dır.
• Yarıçapı Şablon:Math olan bir kürenin hacmi Şablon:Math'dir.
• Yarıçapı Şablon:Math olan bir kürenin yüzey alanı Şablon:Math'dir.

Yukarıdaki formüllerden bazıları, aşağıda verilen n-boyutlu topun hacminin ve onun sınırı olan (n-1)-boyutlu kürenin yüzey alanının özel durumlarıdır.

Dairelerin dışında, sabit genişlikte başka eğriler de vardır. Barbier teoremine göre, sabit genişliğe sahip her eğrinin çevresi, genişliğinin Şablon:Pi katıdır. Reuleaux üçgeni (üç dairenin yarıçapları olarak bir eşkenar üçgenin kenarlarıyla kesişmesinden oluşur) genişliği için mümkün olan en küçük alana ve daire en büyüğüne sahiptir. Dairesel olmayan pürüzsüz ve hatta sabit genişlikte cebirsel eğriler de vardır.

Daireler tarafından oluşturulan şekillerin çevresini, alanını veya hacmini tanımlayan Belirli integraller, tipik olarak Şablon:Pi içeren değerlere sahiptir. Örneğin, 1 yarıçaplı bir çemberin alanının yarısını belirten bir integral şu şekilde verilir:

$$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi }{2}.$$

Bu integralde, Şablon:Math işlevi bir yarım dairenin $x$ ekseni üzerindeki yüksekliği temsil eder (karekök, Pisagor teoreminin bir sonucudur) ve integral, yarım daire'nin altındaki alanı hesaplar.

Açı birimleri

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları 2Şablon:Pi periyot ile tekrarlanır.

Trigonometrik fonksiyonlar açılara dayanır ve matematikçiler genellikle ölçüm birimi olarak radyan kullanır. Şablon:Pi, tam bir daire 2Şablon:Pi radyanlık bir açıyı kaplayacak şekilde tanımlanan radyan cinsinden ölçülen açılarda önemli bir rol oynar. 180°'nin açı ölçüsü Şablon:Pi radyan ve 1° = Şablon:Pi/180 radyan'a eşittir.Şablon:Sfn

Yaygın trigonometrik fonksiyonlar, Şablon:Pi'nin katları olan periyotlara sahiptir; örneğin, sinüs ve kosinüsün periyodu 2Şablon:Pi'dir, dolayısıyla herhangi bir Şablon:Math açısı ve herhangi bir Şablon:Math tam sayısı için,

$$\sin \theta =\sin (\theta +2\pi k)\text{ and }\cos \theta =\cos (\theta +2\pi k).$$

Yaklaşık değeri

Pi sayısının bazı yaklaşık değerleri şu şekildedir:

• Bölümler: Şablon:Sfrac, Şablon:Sfrac, Şablon:Sfrac, Şablon:Sfrac, Şablon:Sfrac ve Şablon:Sfrac.*
• Onlu sayı sistemi : İlk yüz basamak; 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ....
• İkili sayı sistemi: Şablon:Gaps
• Üçlü sayı sistemi: Şablon:Gaps
• On altılı sayı sistemi:Şablon:Gaps
• Altmışlı sayı sistemi: 3;8,29,44,1

Pi (Şablon:Mvar) formülleri

Pi (Şablon:Mvar) formüllerinden başlıcaları şunlardır:Şablon:Kaynak belirt

Nilakantha Somayaji:

$\pi =3+\frac{4}{3^3-3}-\frac{4}{5^3-5}+\frac{4}{7^3-7}-\frac{4}{9^3-9}+...$

$\pi =3+\frac{4}{2\times 3\times 4}-\frac{4}{4\times 5\times 6}+\frac{4}{6\times 7\times 8}-\frac{4}{8\times 9\times 10}+...$

---

Franciscus Vieta:

$\pi =2\times \frac{2}{\sqrt{2}}\times \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\times \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\times \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}\times \cdots$

---

Gregory–Leibniz:

$\pi =4\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=4(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+-\cdots )=\frac{4}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\ddots }}}}$

---

Isaac Newton:

$\pi =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{n+1}\cdot (n!{)}^2}{(2n+1)!}$

---

Leonhard Euler:

$\pi =-i\ln (-1)$

---

Bailey-Borwein-Plouffe:

$\pi =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{16}{)}^n(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6})$

---

Fabrice Bellard:

$\pi =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^6}(\frac{-1}{2^{10}}{)}^n(-\frac{2^5}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}+\frac{2^8}{10n+1}-\frac{2^6}{10n+3}-\frac{2^2}{10n+5}-\frac{2^2}{10n+7}+\frac{1}{10n+9})$

---

Adamchik-Wagon:

$\pi =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{-1}{4}{)}^n(\frac{2}{4n+1}+\frac{2}{4n+2}+\frac{1}{4n+3})$

Ayrıca bakınız

• Geometri
• Pi Günü

Dış bağlantılar

• Pi Çılgınlığı Şablon:Webarşiv Şablon:Tr
• Pi-Different Şablon:İng
• Project Gutenberg'de π'nin detaylı değeri Şablon:Webarşiv Şablon:İng
• Pi formülleri ve online pi hesabı Şablon:Webarşiv Şablon:İng

Şablon:Dolaşım