Ters Pisagor teoremi

Geometride, ters Pisagor teoremiŞablon:Efn (çarpmaya göre ters Pisagor teoremiŞablon:Efn veya alt-üst Pisagor teoremiŞablon:Efn olarak da bilinir) aşağıdaki gibidir:

Şablon:Ortala

Şablon:Mvar, Şablon:Mvar bir Şablon:Math dik üçgenin hipotenüsünün uç noktaları olsun. Dik açının tepe noktası olan Şablon:Mvar'den hipotenüse inen bir dikmenin hipotenüsü kestiği nokta Şablon:Mvar olsun. O halde,

$\frac{1}{C{D}^2}=\frac{1}{A{C}^2}+\frac{1}{B{C}^2}.$

Bu teorem Öklid'in Elementler adlı eserinin 1. kitabında yer alan 48. önerme ile karıştırılmamalıdır, bir üçgenin bir kenarındaki karenin diğer iki kenarındaki karelerin toplamına eşit olması durumunda, diğer iki kenarın bir dik açı içerdiğini ifade eden Pisagor teoreminin ilişkisel karşıtıdır.

İspat

Şablon:Math üçgenin alanı, Şablon:Math, Şablon:Math ve Şablon:Math olmak üzere Şablon:Mvar ile Şablon:Mvar ya da Şablon:Mvar ile Şablon:Mvar cinsinden ifade edilebilir:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{2}AC\cdot BC& =\frac{1}{2}AB\cdot CD\\ (AC\cdot BC{)}^2& =(AB\cdot CD{)}^2\\ \frac{1}{C{D}^2}& =\frac{A{B}^2}{A{C}^2\cdot B{C}^2}\end{array}$

Pisagor teoremini kullanarak, yukarıdaki gibi:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{C{D}^2}& =\frac{B{C}^2+A{C}^2}{A{C}^2\cdot B{C}^2}\\ & =\frac{B{C}^2}{A{C}^2\cdot B{C}^2}+\frac{A{C}^2}{A{C}^2\cdot B{C}^2}\\ \therefore \frac{1}{C{D}^2}& =\frac{1}{A{C}^2}+\frac{1}{B{C}^2}\end{array}$

Özellikle dikkat edin ki:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{2}AC\cdot BC& =\frac{1}{2}AB\cdot CD\\ CD& =\frac{AC\cdot BC}{AB}\\ \end{array}$

Temel Pisagor üçlüsü	AC	BC	CD		AB
(3,  4,  5)	20 =  4× 5	15 =  3× 5	12 =  3× 4		25 =  52
(5, 12, 13)	156 = 12×13	65 =  5×13	60 =  5×12		169 = 132
(8, 15, 17)	255 = 15×17	136 =  8×17	120 =  8×15		289 = 172
(7, 24, 25)	600 = 24×25	175 =  7×25	168 =  7×24		625 = 252
(20, 21, 29)	609 = 21×29	580 = 20×29	420 = 20×21		841 = 292
Karşılaştırma için hipotenüs ile birlikte en fazla üç basamaklı tüm pozitif tam sayı ilkel ters-Pisagor üçlüleri

Haç biçimli eğrinin özel durumu

Haç biçimli eğriŞablon:Efn veya çapraz eğri,Şablon:Efn denklem tarafından verilen bir kuartik düzlem eğrisiŞablon:Efndir.

$x^2{y}^2-b^2{x}^2-a^2{y}^2=0$

burada eğrinin şeklini belirleyen iki parametre, Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar'nin, her biri Şablon:Mvar'ye eşittir.

Şablon:Mvar yerine Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar yerine Şablon:Mvar yazıldığında;

$\begin{array}{cc}A{C}^{2}B{C}^2-C{D}^{2}A{C}^2-C{D}^{2}B{C}^2& =0\\ A{C}^{2}B{C}^2& =C{D}^{2}B{C}^2+C{D}^{2}A{C}^2\\ \frac{1}{C{D}^2}& =\frac{B{C}^2}{A{C}^2\cdot B{C}^2}+\frac{A{C}^2}{A{C}^2\cdot B{C}^2}\\ \therefore \frac{1}{C{D}^2}& =\frac{1}{A{C}^2}+\frac{1}{B{C}^2}\end{array}$

Ters Pisagor üçlüleri Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar tam sayı parametreleri kullanılarak aşağıdaki gibi oluşturulabilir.

$\begin{array}{cc}AC& =(t^2+u^2)(t^2-u^2)\\ BC& =2tu(t^2+u^2)\\ CD& =2tu(t^2-u^2)\end{array}$

Uygulama

Eğer Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar noktalarına iki özdeş lamba yerleştirilirse, ters Pisagor teoremi ve ters-kare yasası, Şablon:Mvar noktasındaki ışık yoğunluğunun Şablon:Mvar noktasına tek bir lamba yerleştirildiğinde elde edilenle aynı olacağını ifade eder.

Ayrıca bakınız

• Geometrik ortalama teoremi
• Pisagor teoremi
• Pisagor üçlüsü