Geometrik ortalama teoremi

Şablon:Ortala

Dik üçgen yükseklik teoremi veya geometrik ortalama teoremi, bir dik üçgendeki hipotenüs üzerindeki yükseklik uzunluğu ile hipotenüs üzerinde oluşturduğu iki doğru parçası arasındaki ilişkiyi tanımlayan temel geometrinin bir sonucudur. İki doğru parçasının geometrik ortalamasının yüksekliğe eşit olduğunu belirtir.

Teorem ve uygulamaları

Şablon:Ortala

Eğer $h$, dik üçgende yüksekliği ve $p$ ile $q$ hipotenüs üzerindeki parçaları gösteriyorsa, teorem şu şekilde ifade edilebilir:

$h=\sqrt{pq}$

veya alan cinsinden ifade edilirse:

$h^2=pq.$

Şablon:Ortala

Sonraki versiyon, bir dikdörtgeni cetvel ve pergel ile kare yapmak için, yani belirli bir dikdörtgene eşit alanlı bir kare oluşturmak için bir yöntem sağlar. Kenarları $p$ ve $q$ olan böyle bir dikdörtgenin, sol üst köşesini $D$ ile gösterelim. Şimdi $q$ parçasını soluna $p$ kadar uzatalım ($D$'de ortalanmış $AE$ yayını kullanarak) ve çapı yeni parça $p+q$ ve uç noktaları $A$ ile $B$ olan bir yarım çember çizelim. Sonra $D$'deki çapa, $C$'deki yarım çemberi kesen dik bir doğru çizelim. Thales teoremine göre $C$ ve çap, $DC$ doğru parçasının yükseklik olduğu bir dik üçgen oluşturur, dolayısıyla $DC$ dikdörtgenin alanına eşit alanlı olan bir karenin kenarıdır. Yöntem ayrıca kare köklerin oluşturulmasına da izin verir (İnşa edilebilir sayıya bakın), çünkü 1 genişliğinde bir dikdörtgenden başlayarak inşa edilen karenin, dikdörtgenin diğer kenar uzunluğunun kareköküne eşit bir kenar uzunluğu olacaktır.

Teorem, iki sayı durumunda AO-GO eşitsizliğinin geometrik bir kanıtını sağlamak için kullanılabilir. $p$ ve $q$ sayıları için $p+q$ çapında yarım çember oluşturulur. Şimdi yükseklik, iki sayının geometrik ortalamasını ve yarıçapı aritmetik ortalamasını temsil eder. Yükseklik her zaman yarıçapa eşit veya daha küçük olduğu için bu eşitsizliği ortaya çıkarır.

Şablon:Ortala

Geometrik ortalama teoremi, Thales teoreminin tersi, dik üçgenin hipotenüsünün çevrel çemberinin çapı olmasını sağladığından, ayrıca bir çember için kesişen kirişler teoreminin özel bir durumu olarak düşünülebilir.

İfadenin tersi de doğrudur. Yüksekliğin, kendisi tarafından oluşturulan iki doğru parçasının geometrik ortalamasına eşit olduğu herhangi bir üçgen, bir dik üçgendir.

Tarihçe

Teorem genellikle, onu Elemanlar VI. kitabında 8. önermenin doğal sonucu olarak ifade eden Öklid'e (Şablon:Yaklaşık MÖ 360-280) atfedilir. II. Kitabın 14. önermesinde, Öklid bir dikdörtgenin karesini almak için burada verilen yönteme esasen uyan bir yöntem verir. Bununla birlikte, Öklid, geometrik ortalama teoremine dayanmak yerine, yapının doğruluğu için biraz daha karmaşık bir kanıt sağlar.

İspat

Benzerliğe dayanarak

Şablon:Ortala

Teoremin kanıtı :

$\mathrm{△}ADC$ ve $\mathrm{△}BCD$ üçgenleri benzerdir, çünkü:

• $\mathrm{△}ABC\text{ ve }\mathrm{△}ACD$ üçgenlerini düşünün, burada $\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ADC=90^{\circ }$ ve $\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }CAD$'dir, bu nedenle AA postülatına göre $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}ACD$'dir.
• Ayrıca, $\mathrm{△}ABC\text{ ve }\mathrm{△}BCD$ üçgenleri düşünün, burada $\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }BDC=90^{\circ }$ ve $\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }CBD$'dir, bu nedenle AA postülatına göre $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}BCD$'dir.

Bu nedenle, her iki üçgen $\mathrm{△}ACD$ ve $\mathrm{△}BCD$, $\mathrm{△}ABC$ üçgenine ve kendilerine benzerdir, yani $\mathrm{△}ACD\sim \mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}BCD$'dir.

Benzerlik nedeniyle aşağıdaki eşitlik oranlarını elde ederiz ve cebirsel yeniden düzenlenmesi bize teoremi verir:

$\frac{h}{p}=\frac{q}{h}\iff h^2=pq\iff h=\sqrt{pq}(h,p,q>0)$

Tersinin kanıtı:

Tersi için $h^2=pq$ eşitliğini sağlanan bir $\mathrm{△}ABC$ üçgenimiz vardır ve $C$'deki açının dik açı olduğunun gösterilmesi gerekir. Şimdi $h^2=pq$ yüzünden ayrıca $\frac{h}{p}=\frac{q}{h}$ ifadesine sahibiz. $\mathrm{\angle }ADC=\mathrm{\angle }CDB$ eşitliği ile birlikte üçgenler $\mathrm{△}ADC$ ve $\mathrm{△}BDC$ eşit büyüklükte bir açıya ve aynı orana sahip karşılıklı kenar çiftlerine sahiptir. Bu, üçgenlerin benzer olduğu anlamına gelir ve sonuç aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

$\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ACD+\mathrm{\angle }DCB=\mathrm{\angle }ACD+(90^{\circ }-\mathrm{\angle }DBC)=\mathrm{\angle }ACD+(90^{\circ }-\mathrm{\angle }ACD)=90^{\circ }$

Pisagor teoremine dayanarak

Şablon:Ortala

Geometrik ortalama teoreminin kurgusunda, Pisagor teoreminin uygulanabileceği üç dik üçgen $\mathrm{△}ABC$, $\mathrm{△}ADC$ ve $\mathrm{△}DBC$ vardır:

$h^2=a^2-q^2$,

$h^2=b^2-p^2$ ve

$c^2=a^2+b^2$

İlk 2 iki denklemi taraf tarafa toplamak ve ardından üçüncüyü kullanmak aşağıdaki ifadenin elde edilmesini sağlar:

$2h^2=a^2+b^2-p^2-q^2=c^2-p^2-q^2=(p+q{)}^2-p^2-q^2=2pq$.

İkiye bölerek sadeleştirme, sonunda geometrik ortalama teoreminin formülünü verir.

Parçalarına ayırma ve yeniden düzenlemeye dayanarak

Dik üçgeni $h$ yüksekliği boyunca parçalarına ayırmak, iki farklı şekilde artırılabilen ve $p+h$ ve $q+h$ uzunluklarına sahip dikey kenarları olan daha büyük bir dik üçgen olarak düzenlenebilen iki benzer üçgen verir. Bu tür bir düzenleme, bu tamamlamak için $h^2$ alanına sahip bir kare alan ve $pq$ alanına sahip diğer bir dikdörtgen gerektirir. Her iki düzenleme de aynı üçgeni verdiğinden, kare ve dikdörtgenin alanları aynı olmalıdır.

Kesme haritalamaya dayanarak

Yüksekliğin karesi, $p$ ve $q$ kenarları ile eşit alanlı bir dikdörtgene, üç kesme haritalama yardımıyla dönüştürülebilir (kesme haritalama alanı korur):

Şablon:Ortala

Dış bağlantılar

• Cut-the-Knot.org'da Geometrik Ortalama Şablon:Webarşiv