Episikloid

Şablon:Ortala

Geometride, bir episikloid (ayrıca hipersikloid olarak da adlandırılır), sabit bir çemberin etrafında kaymadan yuvarlanan bir çemberin çevresi üzerinde seçilen bir noktanın yolunu izleyerek üretilen bir düzlem eğrisidir -buna episikl (epicycle) denir. Bu, yuvarlanma eğrisinin özel bir türüdür.

Küçük yarıçapı (R2) 0 olan bir episikloid bir çemberdir. Bu, eğrinin dejenere bir formudur.

Denklemler

Eğer küçük çemberin yarıçapı Şablon:Mvar ve büyük çemberin yarıçapı Şablon:Math ise, o zaman eğri için parametrik denklemler her iki şekilde de verilebilir:

$\begin{array}{cc}& x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left(\frac{R+r}{r}\theta \right)\\ & y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left(\frac{R+r}{r}\theta \right)\end{array}$

veya:

$\begin{array}{cc}& x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos ((k+1)\theta )\\ & y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin ((k+1)\theta )\end{array}$

Daha özlü ve karmaşık bir biçimde

$z(\theta )=r((k+1)e^{i\theta }-e^{i(k+1)\theta })$

burada;

• Şablon:Mvar açısı devirler halindedir: $\theta \in [0,2\pi ].$
• Şablon:Mvar: daha küçük çemberin yarıçapı
• Şablon:Mvar: daha büyük çemberin yarıçapı

Alan

(Başlangıç noktasının büyük çember üzerinde olduğu varsayılırsa.) Şablon:Mvar pozitif bir tam sayı olduğunda, bu episikloidin alanı;

$A=(k+1)(k+2)\pi r^2.$

Bu, episikloidin orijinal sabit çemberden $\frac{(k+1)(k+2)}{k^2}$ kat daha büyük olduğu anlamına gelir.

Eğer Şablon:Mvar pozitif bir tam sayı ise, o zaman eğri kapalıdır ve Şablon:Mvar tane köşe noktasına (yani keskin köşelere) sahiptir.

Eğer Şablon:Mvar bir rasyonel sayı ise, örneğin Şablon:Math indirgenemez kesir olarak ifade edilirse, eğri Şablon:Mvar tepe noktasına sahiptir.

Eğriyi kapatmak ve 1. tekrarlayan deseni tamamlamak için:

Şablon:Math'dan Şablon:Mvar'ya kadar döngü

Şablon:Math'dan Şablon:Mvar'ya kadar döngü

dış yuvarlanma çemberinin toplam döngüsü = Şablon:Math döngüdür.

Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar'yu görmek için animasyon döngülerini sayın.

Eğer Şablon:Mvar bir irrasyonel sayı ise, eğri asla kapanmaz ve büyük çember ile Şablon:Math yarıçaplı bir çember arasındaki uzayın yoğun alt kümesini oluşturur.

Şablon:Mvar Şablon:Math orijininden (küçük çember üzerindeki Şablon:Mvar noktasına) olan mesafe yukarı ve aşağı şu şekilde değişir;

$R\le \overline{OP}\le R+2r$

burada

• Şablon:Mvar = büyük çemberin yarıçapı ve
• Şablon:Math = küçük çemberin çapıdır.

• Episikloid örnekleri
• 
  Şablon:Math; bir kardioid
• 
  Şablon:Math; bir nefroid
• 
  Şablon:Math; bir trefoiloid
• 
  Şablon:Math; bir quatrefoiloid
• 
  Şablon:Math
• 
  Şablon:Math
• 
  Şablon:Math
• 
  Şablon:Math

Episikloid, epitrokoidin özel bir türüdür.

Bir tepe noktası olan episikloid kardioid, iki tepe noktası olan ise nefroiddir.

Bir episikloid ve onun eğeci (evolütü) benzerdir.

İspat

Şablon:Ortala

Çözmek istediğimiz şeyin $p$ konumu olduğunu, $\alpha$'nın teğet noktadan hareketli $p$ noktasına olan açı olduğunu ve $\theta$'nın başlangıç noktasından teğet noktaya olan açı olduğunu varsayıyoruz.

İki döngü arasında kayma olmadığına göre, o zaman şunu elde ederiz;

${\ell }_R={\ell }_r$

Açının tanımına göre (yarıçap üzerindeki yay oranıdır), o zaman şunu elde ederiz;

${\ell }_R=\theta R$

ve

${\ell }_r=\alpha r$

Bu iki koşuldan şu özdeşliği elde ederiz;

$\theta R=\alpha r$.

Buradan, $\alpha$ ve $\theta$ arasındaki ilişkiyi şu şekilde elde ederiz;

$\alpha =\frac{R}{r}\theta$.

Şekilden, $p$ noktasının küçük çember üzerindeki konumunu açıkça görüyoruz.

$x=(R+r)\cos \theta -r\cos (\theta +\alpha )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left(\frac{R+r}{r}\theta \right)$

$y=(R+r)\sin \theta -r\sin (\theta +\alpha )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left(\frac{R+r}{r}\theta \right)$

Ayrıca bakınız

turtle kütüphanesi ile MSWLogo'da yapılmış bir animasyon (Kardioid)

• Periyodik fonksiyonlar listesi
• Sikloid
• Siklogon
• Taşıyıcı ve episikl
• Episiklik dişli
• Epitrokoid
• Hiposikloid
• Hipotrokoid
• Multibrot seti
• Yuvarlanma eğrisi
• Spirograf

Kaynakça

• Şablon:Kitap kaynağı

Dış bağlantılar

• Şablon:MathWorld
• "Epicycloid" by Michael Ford, The Wolfram Demonstrations Project, 2007
• Şablon:MacTutor
• Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
• Spirograph -- GeoFun
• Historical note on the application of the epicycloid to the form of Gear Teeth