Zamanda sonlu farklar yöntemi

Bir ışık saçılması probleminin FDTD ile modellenmesi. Sol ve sağdaki resimler 500 nm dalga boyundaki bir ışık hüzmesinin 5 µm çapındaki birer fotoreseptör hücreden saçılmasını göstermektedir. Ortadaki referans resmi ise aynı boyuttaki bir yarıktan ışığın kırınımını temsil eder.

Zamanda sonlu farklar yöntemi, kısaca FDTD (Şablon:Dil) ya da Yee yöntemi, hesaplamalı elektromanyetizmada kullanılan bir sonlu farklar tekniğidir. Zaman düzleminde çalışan bir yöntem olduğundan ötürü, elektromanyetik spektrumun mikrodalga veya görünür ışık gibi farklı bölgelerinde anten veya fotonik aygıt tasarımı gibi çeşitli problemlerin çözümünde kullanılır. Aynı zamanda bu özellik, simülasyonu yapılan sistemin geniş bir frekans yelpazesine tepkisinin gözlenebilmesini sağlamaktadır. Matris tersinmesi gerektirmeyen bu FDTD, en yaygın elektromanyetik simülasyon yöntemlerinden biri olarak kabul edilir.

FDTD yönteminin temeli, elektromanyetik teorinin temelini oluşturan Maxwell denklemleri'nin zamanda ve uzayda ayrıklaştırılmasına dayalıdır. Denklemlerdeki zamana ve uzaya bağlı kısmi türevlerinin sonlu farklar cinsinden yazılması ile yaklaşık bir çözüm elde edilebilir. Simülasyon yapılacak alan kare şeklindeki kafeslere bölünür ve elektrik ile manyetik alan değişkenleri bu kafesin kenarlarına yerleştirilir. Ayrıklaştırılmış denklemler kullanılarak her bir kafesteki değişkenler sırası ile uzaya ve zamana bağlı olarak ile güncellenir. Bu şekilde spesifik bir malzeme ya da aygıtta elektromanyetik dalgaların zamana ve uzaya göre değişimi yaklaşık olarak hesaplanabilmektedir. FDTD, problemlere özgün farklı sınır koşullarına uyarlanabilmektedir ve bu şekilde, açık radyasyon problemleri ve periyodik sistemler çözülebilir.

Zamanda sonlu farklar yöntemi, 1966 yılında Kane S. Yee tarafından keşfedilmiştir ve bundan ötürü Yee yöntemi olarak da adlandırılır. Yönteme FDTD ismi, Northwestern Üniversitesi'nde görevli Allen Taflove tarafından 1980 yılında verilmiştir. FDTD, bilgisayarların işlemci gücünün artması ile 1980'li ve 1990'lı yıllarda savunma sanayisinde ve akademide sıklıkla kullanılmaya başlanmıştır. Yöntemi kullanan çok sayıda simülasyon ve CAD yazılımı bulunur.

Yöntem

Yee algoritması

FDTD yöntemindeki ayrıklaştırma şemaları: a) İki boyutlu uzayda TE polarizasyonu için dalga şeması; b) İki boyutlu uzayda TM polarizasyonu için dalga şeması; c) Üç boyutlu uzayda Yee kafesi.

FDTD algoritmasında zamana bağlı Maxwell denklemleri merkezî sonlu fark yaklaşımı ile zaman ve uzayda ayrıklaştırılır. Daha sonra ayrıklaştırılan uzayda zamana bağlı olarak sırayla elektrik ve manyetik alan vektörleri iterasyon ile çözülür. FDTD'yi diğer sonlu farklarından ayıran ana özellik, bu yöntemdeki uzay ayrıklaştırmasında "Yee kafesi" ya da "Yee ızgarası" adı verilen spesifik bir şemanın kullanılmasıdır. Bu şemaya göre Kartezyen koordinat sisteminde üç boyutlu uzay, kutu şeklinde kafeslere bölünür. Kenarlarına elektrik alanı vektörleri, yüzey normallerine ise manyetik alan vektörlerinin yerleştirildiği kafesler, yarı boyları kadar uzayda hareket ettirilir. Her harekette rotasyonel operatör kullanılan Maxwell denklemleri çözülür. Simülasyon alanını oluşturan her noktalardaki elektrik alanları her bir koordinat ekseninde kendinden önceki ve sonraki manyetik alan vektörleri ile adım adım güncellenir ve aynısı, her zaman adımı için sırasıyla elektrik ve manyetik alanlar için yapılır. Her zaman iterasyonunda uzaydaki yeni elektrik alan değerleri için Maxwell-Faraday denklemi, yeni manyetik alanlar için ise Maxwell-Ampère denklemi kullanılır.Şablon:Sfn Bu algoritma, simülasyon alanında simetrinin olduğu durumlarda simülasyonu hızlandırmak için bir ve iki boyutlu uzaya da uygulanabilmektedir.Şablon:Sfn

Kıvrımlı yüzeylerin ve geometrilerin kafeslerle ayrıklaştırılması her türlü nümerik hatalara yol açacağından uzaydaki bilinmeyen sayısını artırmak gerekebilir. Bu durum problemin karmaşıklığını artırabildiğinden, FDTD'nin bu durumlarda performansının artırılabilmesi için uyumlu ayrıklaştırma algoritmaları geliştirilmiştir.Şablon:Sfn Yee algoritması, küp şeklinde olmayanŞablon:Sfn ve silindirik koordinat sistemlerindeki kafeslere de uyarlanabilmektedir. Silindirik koordinat sistemindeki yöntem, BOR/FDTD olarak adlandırılır.Şablon:Sfn Yee algoritması aynı zamanda paralelize edilebilmektedirŞablon:Sfn ve algoritmaya devre modellemesinin uygulanabilmesi mümkündür.

Nümerik stabilite ve dağılma

Dosya:Numerical dispersion of a pulse signal in 1D FDTD.ogv FDTD simülasyonunun stabil olması ve sonsuz değerler sapmaması için bazı stabilite koşullarına uyması gerekir. Bunlardan biri ayrık noktalarda ilerleyen bir dalganın simülasyonunda kullanılan zaman adımı süresinin dalganın bir yandaki noktaya ilerleme süresinden daha kısa olması gerektiğini belirten Courant-Friedrichs-Lewy koşuludur. Üç boyutlu bir küp şeması için bu koşul şu şekilde ifade edilebilir:Şablon:Sfn

$\mathrm{\Delta }t\le \frac{1}{c\sqrt{\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}^2}+\frac{1}{\mathrm{\Delta }{y}^2}+\frac{1}{\mathrm{\Delta }{z}^2}}}=\frac{1}{c\sqrt{\frac{3}{\mathrm{\Delta }{x}^2}}}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{c\sqrt{3}}$

Burada $c$ ışık hızı, $\mathrm{\Delta }t$ birim zaman adımı süresi ve $\mathrm{\Delta }x$ de birim uzay adımı uzunluğudur. Yee'nin orijinal makalesinde stabilite koşulu hatalı verilmiş ve Allen Taflove ile Morris Brodwin'in 1975 yılındaki makalesinde düzeltilmiştir. Von Neumann stabilite analizi diğer sonlu farklar metotlarında olduğu gibi FDTD için de geçerlidir. 1990'lı yıllardan itibaren koşulsuz stabil olan FDTD yöntemleri de geliştirilmiştir.

FDTD algoritması, farklı dalga boyları için, nümerik dağılma adı verilen yapay dağılma ve faz hatalarına yol açabilir. Bu durum, dalganın vakuma çok yakın özelliklere sahip ama tam da vakum olmayan bir ortamda ilerlemesine benzetilebilir. Nümerik dağılmada vakumda ilerleyen bir dalga darbesini oluşturan frekans elemanları hareket sırasında hiçbir fiziksel faktör olmamasına rağmen bozunma veya dağılma yaşayabilir.Şablon:Sfn FDTD modellemesinde nümerik dağılmanın ve hata limitlerinin göz önünde bulundurulması gerekir; bu durumu telafi etmek için farklı metot ve algoritmalar mevcuttur.Şablon:Sfn Nümerik dağılmayı azaltmakta kullanılan başlıca metotlardan biri zamanda yarı spektral yöntemdir (PSTD); bu yöntemde uzaydaki türevler ayrık Fourier dönüşümü yardımı ile alınır.Şablon:Sfn Elektrik ve manyetik alanların Laguerre polinomları cinsinden açılımı ile de koşulsuz stabilite elde edilebilir.Şablon:Sfn FDTD'nin zaman bazlı bir algoritma olmasından dolayı da malzemelerin farklı frekans tepkilerini modellemek için konvolüsyon temelli algoritmaların kullanılması gerekebilir; bağıl geçirgenliğin zaman bazlı tepkisi için malzemeye bağlı olarak Lorentz ve Debye modelleri kullanılır.Şablon:Sfn Doğrusal olmayan malzemeler ve kazanç ortamları için benzer modellemeler de mevcuttur.Şablon:Sfn

Sınır ve kaynak koşulları

Bir saçılma problemi için FDTD şeması. Çizgili sınır alanları mükemmel eşlenmiş katmanları (PML) belirtmektedir. Problemde "toplam alan ve saçılan alan" formülasyonu (TFSF) uygulanmaktadır; objeden saçılan alanlar A noktasından verilen düzlem dalga kaynağının B noktasındaki toplam alandan çıkarılması ile elde edilir.

Maxwell denklemlerinin sınırsız ve açık uzayda çözümü ilgili sınır koşullarının belirlenmesini gerektirir. FDTD iterasyonları her ne kadar teknik olarak açık uzayda sonsuza kadar devam ettirilebilir olsa da, hiçbir bilgisayarın sınırsız veriyi saklaması etkili ve mümkün olmamasından ötürü, çözümün arandığı alanı izole eden sınır koşulları belirlenmiştir. Bazı elektromanyetik analiz yöntemlerinde kullanılan mükemmel elektrik iletken (PEC) sınır koşulları birçok FDTD uygulamalarında fiziksel olarak anlamlı olmayan sonuçlar vermeyebilir. Bu nedenle yöntem için soğuran sınır koşulları veya yutucu sınır koşulları geliştirilmiştir.Şablon:Sfn

Soğuran sınır koşullarında simülasyon sınırlarının dışına çıkan dalgaların geri yansıma yapmadan soğurulması hedeflenir. Bu sınır koşulları, simülasyon alanlarının kaplayan ve içinde hareket eden dalgaların yansımadan soğurulduğu bir katman olarak düşünülebilir. Yee kafesi için ilk stabil soğuran sınır koşulu modeli 1981'de G. Mur tarafından bulunmuştur. Buna karşın ilk soğuran sınır koşullu modelleri farklı frekanslar için dağılmadan çalışsa da, soğuran yüzeylere dik gelmeyen düzlem dalgalarda yapay yansımalara yol açmaktaydı.Şablon:Sfn 1994'te J. Berenger tarafından icat edilen mükemmel eşlenmiş katman (PML) sınır koşulu yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu yöntemde katmana farklı açılardan gelen dalgalar yapay bileşenlerine ayrılır ve bu bileşenlerin yeni ortamda dalga empedansları eşlenir. Bu sırada dalga üstel bir operatör ile soğurulur. Daha sonraki araştırmalarda PML'lerin etkinliği yapay anizotropi ve esnek koordinat dönüşümleri ile geliştirilmiştir. Aslında fiziksel olmayan PML yöntemi az da olsa yapay yansımalaraŞablon:Sfn ve negatif indisli metamalzeme gibi ortamlarda stabilite sorunlarına yol açabilir. Standart PML yöntemi aynı zamanda evanesan dalgaların etkili bir biçimde soğurulmasında sorun yaşayabilmekte, PML'in performansı bu durumlarda konvolüsyonel metotlar ile iyileştirilebilmektedir.

Fotonik kristal ve frekans seçici yüzey gibi periyodik yapıların FDTD simülasyonu için ise periyodik sınır koşulları kullanılabilir.Şablon:Sfn Bu sınır koşulları periyodik yapıyı oluşturan tek bir birimin simülasyonu ile tüm yapının tepkisinin ölçülmesini sağlar. Bu şekilde periyodik yapılar için büyük simülasyon problemlerinin hesaplanması basitleştirilebilir.Şablon:Sfn Fotonik kristallerde kullanılan sınır koşulları Bloch ile Floquet teorilerine göre modellenebilir.Şablon:Sfn Anten ve radar problemlerinde ise uzak alan bölgesindeki radyasyonun hesaplanması gerekebilir. Bu tarz problemlerde simülasyon bölgesi genişletilmeden antenin yakın alan bölgesindeki elektrik ve manyetik alanların işlenmesi ile bu veriler elde edilebilir. FDTD teorisinde bu işlem yakın alan-uzak alan dönüşümü olarak ifade edilir.Şablon:Sfn

FDTD simülasyonlarında probleme uygun bir elektromanyetik dalga kaynağının tanımlanması gerekmektedir. Bu kaynak simülasyon bölgesine tek bir noktada ya da birden fazla noktalarda tanımlı bir elektrik/manyetik alan veya elektrik/manyetik akım yoğunluğu değeri şeklinde entegre edilebilir. Biyoelektromanyetizma ve savunma sanayi gibi birçok alanda düzlem dalga kaynakları kullanılır. FDTD simülasyonlarındaki en yaygın düzlem dalga formülasyonlarından biri özellikle saçılma problemlerinde işleyiş gören "toplam alan ve saçılan alan" formülasyonudur. Bu tip dalga kaynaklarında simülasyon bölgesi toplam alanların ve saçılan alanların bulunduğu iki bölgeye ayrılır; toplam alanların bulunduğu bölge saçılmaya yol açan objeyi kapsar ve diğer bölge bu bölge ile sınır koşullarının arasını doldurur. Toplam alanlar bölgesinin bir tarafından gönderilen dalganın öbür tarafından çıkarılması ile süperpozisyon prensibi kullanılarak objenin elektromanyetik alana tepkisi hesaplanabilir. Dalga kılavuzu gibi rezonant modlara sahip yapılar için ise bu modlarda salınım yapan kaynakların kullanılması gerekir.Şablon:Sfn Lazer simülasyonları için gereken Gauss ışını ve ultra kısa darbe kaynakları da "toplam alan ve saçılan alan" formülasyonu ile modellenebilir.

Avantajları ve dezavantajları

FDTD yönteminin avantajları arasında basitliği ve homojen olmayan malzemelerin kolaylıkla modellenebilmesi bulunur.Şablon:Sfn FDTD özellikle dalga boyunun aygıt ya da cisim geometrisi ile kıyaslanabilir boyutlarda olduğu problemlerde verimlidir.Şablon:Sfn Yöntemde matris tersinmesi gibi karmaşıklığı yüksek işlemlerin kullanılmasına ihtiyaç duyulmadığından FDTD, genellikle frekans temelli diğer yöntemlere göre çok büyük sayıda bilinmeyenli problemlerin çözümünde kullanılabilir.Şablon:SfnŞablon:Sfn Yöntemin zamana bağlı olması tek bir simülasyon ile sistemin geniş bir yelpazedeki frekans tepkisinin ölçülebilmesini mümkün kılar.Şablon:Sfn FDTD, aynı zamanda moment yönteminin (MoM) aksine modellenen yapının Green fonksiyonunun hesaplanmasını gerektirmez.Şablon:Sfn

Yöntemin dezavantajları arasında kübik kafes kullanımı ve malzeme dispersiyonu modellemeleri bulunur.Şablon:SfnŞablon:Sfn Yee algoritmasında kullanılan ortogonal kafesler eğimli ve kıvrımlı yapıların modellemesinde bazı ayrıklaştırma hatalarına yol açabilir. Ortogonal ve karesel olmayan kafes algoritmaları geliştirilmişse de, bunlar Yee algoritmasına göre basitliğini ve etkinliğini kaybeder. FDTD, aynı zamanda mükemmel ya da iyi iletken malzemelerin modellenmesinde MoM kadar etkili değildir.Şablon:Sfn Bunun başlıca nedeni FDTD'nin aksine MoM'da iletken yapıların sadece yüzeylerinin ayrıklaştırılmasıdır.Şablon:Sfn Simülasyon bölgesinin dalga boylarından çok daha büyük olması durumunda ise faz hataları oluşabilir.Şablon:Sfn Aynı zamanda standart FDTD'de, Courant-Friedrichs-Lewy koşulunun getirdiği birim zaman adım sınırı nedeniyle bazı düşük frekans biyoelektromanyetizma ve çok geniş ölçekli tümleşim (VLSI) problemleri çözülemez ve bu problemler için daha karmaşık koşulsuz stabil FDTD formülasyonları gerekir.Şablon:Sfn

Tarihçe ve uygulamaları

Dosya:Time evolution of a plane-wave pulse interacting with the nanoparticles (lateral).ogv FDTD, elektromanyetik problemlerin çözümünde kullanılan en yaygın yöntemlerden birisi olarak kabul edilir.Şablon:Sfn Yöntem, süper bilgisayarların yaygınlaşması ve kişisel bilgisayarların işlem kapasitelerinin büyük ölçüde artması ile 1970'lerden itibaren popülerlik kazanmıştır. Basitliği, matris tersinmesi gerektirmemesi ve işlemsel verimliliği nedeniyle akademide ve endüstride sıklıkla tercih edilir.Şablon:SfnŞablon:Sfn

Kane S. Yee, Maxwell denklemleri için geliştirdiği kafes algoritması ile ilgili makaleyi 1966 yılında IEEE Transactions on Antennas and Propagation dergisinde yayımladı. Bu makale ilk dönemlerinde mühendislik camiasından ilgi görmemişti. İlk kez Taflove ve Brodwin tarafından 1975'te biyoelektromanyetik modellemelere uygulanan yöntem, daha sonraki yıllarda elektromanyetik darbe ile radar kesiti problemlerine uygulandı. 1970'ler ve 1980'lerde savunma sanayisinde çalışan araştırmacılar, o dönemki frekans bazlı yöntemlerin sınırlamaları nedeniyle FDTD'ye yöneldi.Şablon:Sfn Taflove, 1980'deki dielektrik ve iletken malzemelerdeki sinüzoidal dalgaların Yee algoritması ile modellenmesi ile ilgili çalışmasında yönteme "zamanda sonlu farklar yöntemi" ("finite-difference time-domain") ismini verdi. 1980'ler itibari ile dalga kılavuzu, anten ve mikroşerit gibi elektronik aygıtların FDTD modelleri mühendislik literatüründe yayımlandı. Bu dönemlerde aynı zamanda insan vücudu gibi homojen olmayan malzemelerin elektromanyetik modellenmesine olan ilgi artması, FDTD'nin popülerliğine katkıda bulundu.Şablon:Sfn 1990'larda Berenger tarafından mükemmel eşlenmiş katmanların icat edilmesi ile yöntemin açık problemlere uygulanması kolaylaştı.Şablon:Sfn Bu dönemlerde anten ve optik problemlerinin FDTD çözümü ile ilgili mühendislik literatüründeki yayınlar artış gösterdi. 2000'lerde ise bu algoritmaları kullanan ticari yazılımlar yaygınlaştı. FDTD'nin 2000'li ve 2010'lu yıllarda elektromanyetik modelleme literatürüne temel bir yöntem olarak yerleşmesi ile alandaki teorik araştırmalar daha karmaşık algoritmalara yöneldi.Şablon:Sfn

Anten ve mikrodalga mühendisliği dışında FDTD'nin kullanıldığı alanlar arasında optik, fotonik, nanoteknoloji, dijital elektronik, düşük frekanslı jeofizik, biyoelektromanyetizma ve tıbbi görüntüleme teknolojileri bulunur. Yöntemin zamana bağlı olması lazer ışımaları ve solitonlar gibi doğrusal olmayan süreçlerin doğal bir şekilde simülasyonunu mümkün kılar.Şablon:Sfn Katı hâl yapıları gibi karmaşık ve stokastik sistemlerin simülasyonunda ise sisteme kuantum mekaniği ve moleküler dinamik formülleri Yee algoritması ile entegre edilebilirken benzer şekilde plazmalar ve elektriksel kırılım akışkanlar dinamiği ve benzeri prensipler kullanılarak modellenebilmiştir.

FDTD yöntemini kullanan birçok ticari ve açık kaynak yazılım bulunur.Şablon:Sfn Akademi ve endüstride kullanılan bazı FDTD simülasyon yazılımlarına örnek olarak REMCON XFDTD,Şablon:Sfn Lumerical FDTD, RSoft Full WaveŞablon:Sfn ve Massachusetts Teknoloji Enstitüsü'nün açık kaynak yazılımı MEEP verilebilir. Mikrodalga mühendisliğinde sıklıkla kullanılan CST Microwave Studio yazılımında ise FDTD ile ilişki olan sonlu integral tekniği (FIT) kullanılır.Şablon:Sfn

Ayrıca bakınız

• Sonlu elemanlar yöntemi
• Sonlu hacim yöntemi

Kaynakça

Özel

Genel

• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı

Dış bağlantılar

• Nature Photonics dergisinin Allen Taflove ile FDTD'nin tarihi üzerine röportajı (İngilizce)
• EMPossible'ın FDTD ile modelleme dersi Şablon:Webarşiv (İngilizce)
• FDTD yöntemini anlamak Şablon:Webarşiv (İngilizce)
• MIT profesörü S. G. Johnson'ın PML ders notları Şablon:Webarşiv (İngilizce)
• FDTD temelleri Şablon:Webarşiv (İngilizce)
• IEEE Photonics Society dergisinin BPM, EME ve FDTD yöntemleri ile ilgili makalesi (İngilizce)