Gama fonksiyonu

Şablon:Dipnotsuz Şablon:Matematiksel fonksiyon bilgi kutusu Gama fonksiyonu, matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tam sayı olmamalıdır, pozitif tam sayı olmalıdır.

Alıştırma

Öncelikle;

$(n+1)n!=(n+1)!$ eşitliğini ele alalım.

$n=0$ alırsak; $1.0!=1!=1$ olur.

Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.

$n=1/2$ alırsak;

$(3/2)(1/2)!=(3/2)!$ olması gerekir. Yani

$(3/2)(1/2)!=(3/2)!$→$(3/2)!/(1/2)!=3/2$ olmalıdır.

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$' olduğundan;

$\mathrm{\Gamma }(5/2)$→$(3/2)!$ 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine

$\mathrm{\Gamma }(3/2)$→$(1/2)!$ işlemine karşılık gelmelidir.

$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Gamma }(5/2)& =\frac{3\sqrt{\pi }}{4}& \approx 1.329\\ \mathrm{\Gamma }(3/2)& =\frac{\sqrt{\pi }}{2}& \approx 0.886\end{array}$

$\mathrm{\Gamma }(5/2)/\mathrm{\Gamma }(3/2)=3/2$

Bu da

$\mathrm{\Gamma }(5/2)/\mathrm{\Gamma }(3/2)=3/2$→$(3/2)!/(1/2)!=3/2$ varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.

Tanım

Ana Tanım

karmaşık düzlemle genişletilmiş Gama fonksiyonu

Bu çift $\mathrm{\Gamma }(z)$ gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı z'nin gerçel kısmı (Re[z] > 0) şeklindedir. integral'i

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$

Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)\text{(1)}$

 n ! = n · (n − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir.

$\mathrm{\Gamma }(1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}dt=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }-e^{-t}{|}_0^k=-0-(-1)=1\text{(2)}$

Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor. Bütün n Doğal sayılar'ı için .

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)=n(n-1)\mathrm{\Gamma }(n-1)=\cdots =n!\mathrm{\Gamma }(1)=n!$

Karmaşık düzlem üzerinde Gama fonksiyonu'nun mutlak değeri.

$\mathrm{\Gamma }(z)$ genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. z böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. (z. = −nbasit kutbu ile rezidü (−1) ⁿ/n !).

Alternatif tanımlamalar

0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar z için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(z)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!n^z}{z(z+1)\cdots (z+n)}=\frac{1}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(1+\frac{1}{n})}^z}{1+\frac{z}{n}}\\ \mathrm{\Gamma }(z)& =\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{e}^{z/n}\\ \end{array}$

burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

yukarıdaki z nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi basitleştirilmiş şekli,

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(z+1)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!(n{)}^{z+1}}{(z+1)(z+2)\cdots (z+n+1)}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(z\frac{n!n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}\frac{(n)}{(z+n+1)}\right)\\ & =z\mathrm{\Gamma }(z)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n)}{(z+n+1)}\\ & =z\mathrm{\Gamma }(z).\\ \end{array}$

değişik bir gösterim...

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^{1/z}}dt.$

Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın terimleri içinde verilir;

$\mathrm{\Gamma }(z)=t^z\cdot \sum _{n=0}\frac{L_n^{(z)}(t)}{z+n}$  ,   yakınsaklık için $\mathrm{\Re }(z)<\frac{1}{2}$ olmalıdır.

• 
  Mutlak değer
• 
  Gerçel kısım
• 
  Sanal kısım

Özellikler

Mathematica'da kendi kendine yapılan Γ fonksiyonunun mutlak değerinin 3B grafiği (mupad'deki önceki sürümler)

Pi fonksiyonu

Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen Pi fonksiyonu deniyor, gama fonksiyonu terimleri yardımıyla

$\mathrm{\Pi }(z)=\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^z\mathrm{d}t,$

böylece

her negatif olmayan n için.

$\mathrm{\Pi }(n)=n!,$

Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır

$\mathrm{\Pi }(z)\mathrm{\Pi }(-z)=\frac{\pi z}{\sin (\pi z)}=\frac{1}{\mathrm{sinc}(z)}$

burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa

$\mathrm{\Pi }\left(\frac{z}{m}\right)\mathrm{\Pi }\left(\frac{z-1}{m}\right)\cdots \mathrm{\Pi }\left(\frac{z-m+1}{m}\right)=(2\pi {)}^{\frac{m-1}{2}}{m}^{-z-\frac{1}{2}}\mathrm{\Pi }(z).$

ayrıca bazen

$\pi (z)=\frac{1}{\mathrm{\Pi }(z)},$

bulunur.

yukardaki bir Tam fonksiyon'dur, çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(z) hiçbir kutuba sahip değildir, Π(z)de, Γ(z) gibi,sıfır yok idi.

ilgilenenler için, yarıçap $r_1,...,r_n$ ile bir n-ellipsoidin hacmi gösterilebilir.

$V_n(r_1,...,r_n)=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Pi }(\frac{n}{2})}\prod _{k=1}^n{r}_k$

Özel değerler

$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Gamma }(-3/2)& =\frac{4\sqrt{\pi }}{3}& \approx 2.363\\ \mathrm{\Gamma }(-1/2)& =-2\sqrt{\pi }& \approx -3.545\\ \mathrm{\Gamma }(1/2)& =\sqrt{\pi }& \approx 1.772\\ \mathrm{\Gamma }(1)& =0!& =1\\ \mathrm{\Gamma }(3/2)& =\frac{\sqrt{\pi }}{2}& \approx 0.886\\ \mathrm{\Gamma }(2)& =1!& =1\\ \mathrm{\Gamma }(5/2)& =\frac{3\sqrt{\pi }}{4}& \approx 1.329\\ \mathrm{\Gamma }(3)& =2!& =2\\ \mathrm{\Gamma }(7/2)& =\frac{15\sqrt{\pi }}{8}& \approx 3.323\\ \mathrm{\Gamma }(4)& =3!& =6\end{array}$

Raabe formülü

1840 yılında Raabe şunu kanıtladı,

$\underset{a}{\overset{a+1}{\int }}\log \mathrm{\Gamma }(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\log 2\pi +a\log a-a,a\ge 0.$

özel olarak, eğer $a=0$ ise

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\log \mathrm{\Gamma }(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\log 2\pi .$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Beta fonksiyonu
• Bohr–Mollerup teoremi
• n-küre hacminin türevi (görünüşte ilgisiz olan problemden Gama fonksiyonunun türetilmesi)
• Digama fonksiyonu
• Elliptik gama fonksiyonu
• Faktöriyel
• Gamma dağılımı
• Gauss sabiti
• Gauss toplamı
• Lanczos yaklaşıklığı
• Çokdeğişkenli Gama fonksiyonu
• Pochhammer k-sembolü
• Poligama fonksiyonu
• Ters Gama fonksiyonu
• Trigama fonksiyonu

Kaynakça

• Şablon:Citizendium
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6) Şablon:Webarşiv
• Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
• Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
• Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
• W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)
• Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScriptŞablon:Webarşiv and HTMLŞablon:Webarşiv formats.

Dış bağlantılar

• Şablon:Dlmf
• CephesŞablon:Webarşiv - C and C++ language special functions math library
• Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
• Gamma function calculator
• Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)Şablon:Webarşiv
• Şablon:WolframFunctionsSite
• Volume of n-Spheres and the Gamma FunctionŞablon:Webarşiv at MathPages
• Computing the Gamma functionŞablon:Webarşiv - various algorithms
• Online tool to graph functions which contain the Gamma function
• Şablon:Mathworld
• "Elementary Proofs and Derivations" Şablon:Webarşiv
• "Transformations, Identities and Special Values" Şablon:Webarşiv